Contre-exemple au théorème de Dirichlet

Contre-exemple au théorème de Dirichlet

analysis

On construit un contre-exemple au théorème de Dirichlet qui montre l’importance de l’hypothèse par morceaux.

Contre-exemple 1. Soit paire, -périodique telle que : Alors est bien définie et continue sur . Cependant, sa série de Fourier diverge en .

Démonstration. donc la série converge normalement sur . Comme la fonction est continue (en tant que composée de fonctions continues), la fonction est continue sur . On prolonge par parité en posant Ainsi prolongée, est continue sur l’intervalle . Comme , on en déduit que est -périodique, et est donc continue sur tout entier.

Posons : Soient . On va chercher à minorer . Pour cela, calculons explicitement : Par conséquent, à fixé, pour tout . Donc pour tout . Pour le cas , on remarque que les sont, à un facteur près, les coefficients de Fourier de la fonction paire qui est continue et par morceaux. D’après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement vers sur . En particulier, en , cela donne : En faisant tendre vers , on a ainsi : Or, est positif pour et négatif pour . Donc la suite est décroissante à partir de l’indice . Comme elle converge vers , on en déduit que Il nous reste à obtenir une minoration de . Or, pour tout , Mais, la fonction est croissante. Donc par comparaison série-intégrale, Comme est paire, les coefficients de Fourier sont nuls. Par ailleurs, , l’interversion somme-intégrale étant licite par convergence normale sur un segment. Donc, Comme les sont positifs et que , on en déduit  ◻