Extrema liés

Extrema liés

algebra, analysis

Dans ce développement, on montre l’existence et l’unicité des multiplicateurs de Lagrange liant les différentielles de plusieurs fonctions sous certaines hypothèses.

Théorème 1 (Extrema liés). Soit un ouvert de et soient des fonctions de classe . On note . Si admet un extremum relatif en et si les formes linéaires sont linéairement indépendantes, alors il existe des uniques appelés multiplicateurs de Lagrange tels que

Démonstration. Soit . Identifions à et écrivons les éléments de sous la forme . On notera également par la suite avec et . On a déjà plusieurs informations :

  • Déjà, , car les formes linéaires forment une famille libre de , qui est de dimension .

  • De plus, si , la démonstration est triviale car est alors une base de .

Pour ces raisons, nous supposerons dans la suite (ie. ).

Comme est une famille libre, la matrice est de rang . On peut donc extraire une sous-matrice de taille inversible. Quitte à changer le nom des variables, on peut supposer que c’est la sous-matrice de droite, ie. On va appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonction . Pour cela, on vérifie les hypothèses :

  • est de classe .

  • car .

  • La différentielle partielle est inversible par .

Ainsi, il existe :

  • voisinage de dans .

  • voisinage de dans .

  • de classe telle que et , .

En d’autres termes, sur un voisinage de , les éléments de s’écrivent . On pose maintenant et . Par composition, est différentiable en et En termes de matrices, cela donne : On aboutit à la relation suivante : Comme , , on peut aboutir de la même manière à la relation suivante : On considère maintenant la matrice suivante : Par et , les premiers vecteurs colonnes de cette matrice s’expriment linéairement en fonction de ses derniers. Donc . Mais, le rang des vecteurs lignes d’une matrice est égal au rang de ses vecteurs colonnes. Donc les vecteurs lignes de forment une famille liée. Mais par hypothèse, les dernières lignes sont libres. Donc la première ligne est combinaison linéaire des dernières, ce qui se réécrit : L’unicité est claire car est une famille libre. ◻

Remarque 2. Attention à la rigueur et à la propreté dans cette démonstration. On peut très vite se perdre si l’on va trop vite ou si l’on ne prend pas le temps de bien écrire chaque donnée.

Remarque 3. Il paraît que le jury n’aime pas beaucoup cette démonstration. Si vous la proposez, soyez sûr de pouvoir en donner une interprétation géométrique : grâce à la condition d’indépendance des , est une sous-variété de autour du point . D’autre part, En particulier, est nulle sur . Or, l’espace tangent en à la sous-variété est justement .

Bref, la condition exprime que est nulle sur le plan tangent à en . Ceci équivaut aussi à ce que soit orthogonal à l’espace tangent à en . Ainsi, la seule manière de rendre plus petit serait de sortir de .