Invariants de similitude

Invariants de similitude

algebra

Nous montrons l’existence et l’unicité des invariants de similitude d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie en utilisant la dualité.

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif . Soit .

Notation 1. Soit . On note le polynôme unitaire engendrant l’idéal (un tel polynôme existe car est principal et cet idéal est non réduit à ) et .

Lemme 2.

  1. Si , alors est un sous-espace vectoriel de de dimension , dont une base est .

  2. Soit . Si , alors est un sous-espace vectoriel de de dimension , dont une base est .

Démonstration.

  1. Montrons que la famille est à la fois libre et génératrice.

    • Soit . On fait la division euclidienne de par dans pour écrire avec et . En évaluant en , cela donne . Donc la famille est génératrice.

    • Si , alors le polynôme vérifie . Donc , et comme , on a . Donc . Donc la famille est libre.

  2. La deuxième assertion se montre sensiblement de la même manière.

 ◻

Lemme 3. Il existe tel que .

Remarque 4. La démonstration est un peu trop longue pour être incluse ici : c’est un résultat qui demande du temps pour le démontrer (et pourrait constituer un vrai développement à part entière). Nous vous renvoyons vers p. 178 pour la démonstration.

Théorème 5 (Frobenius). Il existe des sous-espaces vectoriels de tous stables par tels que :

  1. .

  2. , la restriction est un endomorphisme cyclique de .

  3. Si est le polynôme minimal de , on a .

La suite ne dépend que de et non du choix de la décomposition (elle est donc unique). On l’appelle suite des invariants de .

Démonstration.

  • Existence : Soit . Par le Lemme 3, il existe tel que . Par le Lemme 2, le sous-espace est de dimension et est stable par et comme , la famille de vecteurs forme une base de . Complétons cette base en une base de . En désignant par la base duale associée et en notant , on pose Ainsi, est l’ensemble des tel que la -ième coordonnée de (dans la base ) est nulle ; est donc un sous-espace de stable par . Montrons que .

    Montrons que . Soit . Si , on peut écrire avec et . En composant par , on obtient Ce qui est absurde.

    Montrons que . Cela revient à montrer que . On sait que et . Montrons donc que . Posons Par définition de , est surjective. Soit . On a alors , et comme , On a donc . Ainsi, et est un isomorphisme. Donc par le Lemme 2, ce que l’on voulait.

    Soit le polynôme minimal de (qui est le polynôme minimal de car ). Soit le polynôme minimal de . Comme est stable par , on a , donc . Il suffit alors de réitérer en remplaçant par et par pour obtenir la décomposition voulu.

  • Unicité : Soient et des sous-espaces vectoriels stables par qui vérifient , et . On note pour tout , et . On suppose par l’absurde . Soit . Comme (où , est stable par et , ) : De même, Notons que l’on a , . En effet, on peut trouver une base de et une base de telles que par cyclicité de et . En prenant les dimensions dans et , on en déduit : Par symétrie, on a de même . D’où : absurde.

 ◻

Remarque 6. Dans ce développement, il est courant de ne montrer que l’existence (à cause de la contrainte de temps, mais aussi de la contrainte d’espace).