Optimisation dans un Hilbert

Optimisation dans un Hilbert

analysis

On prouve l’existence d’un minimum pour certains types de fonctions définies sur des espaces de Hilbert en utilisant les théorèmes hilbertiens classiques.

Soit un espace de Hilbert réel de norme et dont on note le produit scalaire associé.

Théorème 1. Soit une fonction convexe, continue et vérifiant Alors, il existe tel que

Démonstration. Soit une suite d’éléments de telle que converge vers . Supposons par l’absurde que n’est pas bornée. Il existe alors une extractrice telle que Or, par hypothèse, ceci entraîne : absurde. On en déduit que est bornée. Il existe alors tel que pour tout . On considère la suite . Elle est bornée car donc, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extractrice telle que la suite converge. Par récurrence, supposons avoir construit des extractrices telles que converge. Comme précédemment, la suite est bornée. On en déduit, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, qu’il existe une extractrice telle que converge. On crée donc comme cela une suite d’extractrices . On définit alors et on a la convergence de pour tout car est une suite extraite de . On pose maintenant . Par linéarité, converge pour tout . De plus, comme est un espace de Hilbert,

On définit la suite par Montrons que pour tout , la suite converge. Soient et . Par , ainsi que tel que . Pour tout entiers, on a : Comme la suite converge, elle est de Cauchy. Il existe donc un entier tel que pour tout , . Ainsi, pour tout , On en déduit que est une suite de Cauchy réelle, donc est convergente vers une limite . On définit par linéarité de et par unicité de la limite, est une forme linéaire. Comme est bornée, on a ce qui implique la continuité de . On peut appliquer le théorème de représentation de Riesz, qui donne l’existence d’un unique tel que Ainsi, pour tout , la suite converge vers .

Il reste à montrer que le minimum de sur est bien atteint en . Soit . On définit C’est un convexe fermé, non vide de , et par le théorème de projection sur un convexe fermé, on peut définir la projection orthogonale . Comme converge vers , aussi. Ainsi, il existe tel que , . Donc, d’après la caractérisation angulaire de la projection orthogonale, Or, converge vers , donc en déduit que . Ce qui aboutit à et . Ainsi, pour tout tel que . On en déduit que . ◻