Sous-groupes distingués et table des caractères

Sous-groupes distingués et table des caractères

algebra

Dans ce développement, on montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe fini s’écrit comme intersection de noyaux de caractères irréductibles. On utilise ensuite ce résultat pour donner un critère de simplicité.

Soit un groupe fini.

Notation 1.

  • On note les représentations irréductibles de . On suppose que est la représentation triviale.

  • On note les caractères respectifs de .

Théorème 2. Les sous-groupes distingués de sont exactement les

Démonstration. Pour tout , le noyau de est clairement distingué et donc toute intersection de noyaux de représentations irréductibles l’est aussi. Montrons que ce sont en fait les seuls sous-groupes distingués de . Soit . On note la représentation régulière de , de degré . On pose (où désigne la projection canonique sur le quotient, qui est un morphisme de groupes car est distingué). On a alors : donc est une représentation de . De plus, comme est injective, on a Comme est une représentation de , on peut la décomposer en somme directe de représentations irréductibles de (par le théorème de Maschke) : Soit . Dans une base adaptée à la décomposition , s’écrit comme une matrice diagonale par blocs (où chaque bloc correspond à une sous-représentation irréductible). Ainsi, d’où . ◻

Corollaire 3. est simple si et seulement si , , .

Démonstration. Sens direct : Supposons simple. Pour , , donc Supposons par l’absurde que que et notons le degré de de sorte que pour tout . En particulier, Mais, et sont orthogonaux, donc : absurde. D’où . Donc , .

Réciproque : Supposons que , , . Alors , . De plus, comme , toute intersection de ces sous-groupes est triviale. Ainsi, est simple par le Théorème 2. ◻