Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

analysis

En construisant un raisonnement autour du théorème du point fixe de Banach, on montre le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit l’existence d’une solution répondant à une condition initiale et l’unicité d’une solution maximale.

Soit un espace de Banach sur ou .

Théorème 1 (Cauchy-Lipschitz local). Soient un intervalle de et un ouvert de . Soit une fonction continue et localement lipschitzienne en la seconde variable. Alors, pour tout , le problème de Cauchy admet une unique solution maximale.

Démonstration. Nous commençons par montrer l’existence en étapes.

  • Localisation : Fixons un réel tel que le produit soit contenu dans . est continue sur qui est compact, donc est bornée par sur .

  • Mise sous forme intégrale : Comme une solution de est de ce fait , on a

  • Choix d’un domaine stable : Soit . Introduisons l’intervalle , l’espace , puis l’application Le problème est ici de rendre stable par . Pour tout , Par suite, en choisissant , le domaine est stable par .

  • Détermination d’un domaine de contraction : Ici, est normé par la norme , et on veut faire de une contraction stricte. Soient , par définition, pour tout , désigne le rapport de lipschitziannité de . On choisit désormais tel que et .

  • Conclusion : L’application est, par choix de , une contraction stricte de dans lui-même. Le fermé de l’espace de Banach de est complet, par suite l’est aussi.

    Par le théorème du point fixe de Banach, possède donc un point fixe dans . est alors de classe et vérifie par .

Il reste maintenant à montrer l’unicité. On note l’ensemble des solutions de . , donc peut définir comme la réunion des intervalles de définition des solutions de .

Soient (on note et leur intervalle de définition). Une récurrence sur donne Donc et coïncident sur .

Ainsi, on définit correctement l’application (où tel que est dans son intervalle de définition). Si , il existe tel que soit dans son intervalle de définition . Comme et coïncident sur , est dérivable sur et Et comme , et prolonge toute solution. Donc est maximale et est bien unique. ◻