Théorème de Maschke

Théorème de Maschke

algebra

Dans ce développement, nous montrons le théorème de Maschke qui dit que toute représentation linéaire de degré non-nul est somme directe d’un nombre fini de représentations linéaires irréductibles.

Soit un groupe fini de cardinal . Tous les espaces vectoriels considérés ici sont de dimension finie.

Lemme 1. Soit une représentation de et soit un sous-espace de stable par pour tout . Alors il existe un supplémentaire de dans stable par pour tout .

Démonstration. Soit une projection de sur . Formons la moyenne des transformés de par les éléments de : Puisque est stable par pour tout , on a .

D’autre part, si , on a . D’où : D’où . Donc et ie. est le projecteur de sur parallèlement au supplémentaire de .

Si l’on calcule , on trouve : car est une bijection de dans . Donc on a : Si maintenant , on a . D’où ie. , ce que l’on voulait. ◻

Théorème 2 (Maschke). Toute représentation linéaire de degré non-nul est somme directe d’un nombre fini de représentations linéaires irréductibles.

Démonstration. Soit une représentation linéaire de . On raisonne par récurrence sur .

  • Si : la représentation est irréductible, donc le résultat est évident.

  • Supposons le résultat vrai à un rang et montrons-le au rang . Si est irréductible, il n’y a rien à montrer. Dans le cas contraire, on note le sous-espace de laissé stable par pour tout . Par le Lemme 1, il existe tel que avec laissé stable par pour tout . Par l’hypothèse de récurrence, et sont sommes directes de représentations irréductibles, et comme , on a le résultat.

 ◻