Caractérisation réelle de la fonction

Caractérisation réelle de la fonction

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On montre que la fonction d’Euler est la seule fonction log-convexe sur prenant la valeur en et vérifiant pour tout .

Lemme 1. La fonction définie pour tout par vérifie :

  1. , .

  2. .

  3. est log-convexe sur .

Démonstration.

  1. Soit . Alors :

  2. Comme est la densité de probabilité d’une loi exponentielle de paramètre , on a

  3. Soient et . On applique l’inégalité de Hölder en posant et : Donc vérifie bien l’inégalité de convexité sur et ainsi, est log-convexe.

 ◻

Théorème 2 (Bohr-Mollerup). Soit vérifiant les points , et du Lemme 1. Alors .

Démonstration. Par récurrence, on a d’après : Donc les valeurs prises par sur sont entièrement déterminées par ses valeurs prises sur . Ainsi, pour démontrer le théorème, il suffit de vérifier , .

Soient donc et ; on applique le lemme des trois pentes à la fonction convexe (d’après ) aux points , , et :

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Mais, d’après et , on a . D’où : Par croissance de la fonction , cela donne : Et en appliquant , on obtient : En ne considérant que la première inégalité, on peut remplacer par (car les deux inégalités sont vraies pour tout ) : Or, , donc : en faisant dans la deuxième inégalité. Comme vérifie , , et ; le raisonnement précédent est a fortiori vrai aussi pour . Donc ie. et coïncident bien sur . ◻

Remarque 3. À la fin de la preuve, on obtient une formule due à Gauss : que l’on peut aisément étendre à entier.