Plans et développements pour l'agrégation de mathématiques 2024.
On montre que la fonction d’Euler est la seule fonction log-convexe sur prenant la valeur en et vérifiant pour tout .
On montre que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite d’un espace métrique compact est connexe en raisonnant par l’absurde, puis on utilise ce résultat pour démontrer le lemme des grenouilles.
Ici, nous démontrons le célèbre critère d’Eisenstein que l’on utilise énormément en pratique pour montrer qu’un polynôme est irréductible.
On démontre l’existence et l’unicité de la décomposition de Dunford pour tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
On montre que toute matrice peut s’écrire de manière unique avec et , et que l’application est un homéomorphisme.
On montre que la famille des polynômes orthogonaux associée à une fonction poids vérifiant certaines hypothèses forme une base hilbertienne de (où est un intervalle de ).
On effectue un développement asymptotique à l’ordre de la série harmonique .
Dans ce développement, on montre en se ramenant à la résolution d’un système d’équations linéaires homogène que la dimension du commutant d’une matrice est plus grande que celle de l’espace de départ. On applique ensuite ce résultat pour donner une condition nécessaire et suffisante qui permettant de calculer le commutant de cette matrice.
Avec les propriétés hilbertiennes de couplées à certaines propriétés des espaces , on montre que le dual d’un espace est pour , dans le cas où et où l’espace est de mesure finie.
On montre que l’équation d’inconnue admet une unique solution pour tout et pour tout dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative.
On montre l’équivalence des normes en dimension finie ainsi que le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée toujours en dimension finie, qui sont deux résultats fondamentaux sur les espaces vectoriels normés.
Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices est surjective en utilisant des théorèmes d’analyse.
Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices induit un homéomorphisme de sur .
Le but de ce développement est de construire une forme quadratique permettant de dénombrer les racines réelles distinctes d’un polynôme en fonction de ses racines complexes.
Dans ce développement un peu technique, nous démontrons la formule de Stirling à l’aide du théorème central limite et de la fonction d’Euler.
On démontre la formule sommatoire de Poisson en utilisant principalement la théorie des séries de Fourier.
Il s’agit ici de calculer l’intégrale de Dirichlet en utilisant les théorèmes classiques d’intégration.
En usant (certains diront plutôt en abusant
) du théorème
d’inversion locale, on montre le lemme de Morse et on l’applique à
l’étude de la position d’une surface par rapport à son plan tangent.
Le but de ce développement est de montrer la très connue loi d’inertie de Sylvester qui donne l’existence (et une forme d’unicité) de la décomposition d’une forme quadratique réelle en carrés de formes linéaires indépendantes.
On démontre ici la méthode de Newton qui permet de trouver numériquement une approximation précise d’un zéro d’une fonction réelle d’une variable réelle.
En utilisant les propriétés des séries entières, nous calculons le nombre de partitions de l’ensemble .
En procédant par récurrence sur le cardinal du groupe, on montre l’existence d’un sous-groupe de Sylow.
On montre le théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert réel en utilisant les suites de Cauchy et des propriétés du produit scalaire.
On montre que est simple pour en montrant dans un premier temps le cas , puis en s’y ramenant.
Il s’agit ici d’étudier une suite de polygones à l’aide de déterminants classiques, et de montrer qu’elle converge vers l’isobarycentre du polygone de départ.
En établissant d’abord le théorème de Lévy, on démontre le théorème central limite, qui dit que si est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées admettant un moment d’ordre , alors converge en loi vers .
On montre le théorème chinois et on propose une application à la résolution d’un système de congruences.
On montre le théorème d’Abel angulaire
, qui permet
d’intervertir certaines sommes et limites, et on l’applique justement au
calcul de deux sommes.
En construisant un raisonnement autour du théorème du point fixe de Banach, on montre le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit l’existence d’une solution répondant à une condition initiale et l’unicité d’une solution maximale.
En raisonnant par l’absurde et en utilisant certaines propriétés des polynômes cyclotomiques, on démontre que l’ensemble des premiers congrus à modulo un certain entier est infini.
Dans ce développement, on montre le théorème de Fejér, qui assure la convergence de la série de Fourier d’une fonction au sens de Cesàro.
Nous démontrons le théorème de Frobenius-Zolotarev qui permet de calculer la signature d’un endomorphisme d’un espace vectoriel sur un corps fini possédant au moins éléments.
En utilisant les polynômes symétriques, nous montrons ici que toutes les racines d’un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont dans , sont en fait des racines de l’unité.
Une application sympathique de la théorie des corps en géométrie. Les arguments sont assez simples et donnent lieu à de jolies applications.
En utilisant les polynômes cyclotomiques, nous montrons que tout corps fini est commutatif.
On montre le théorème de Weierstrass par la convolution (sans forcément développer toute la théorie derrière, ce qui peut être utile dans certaines leçons).
On montre le théorème de Weierstrass en faisant un raisonnement sur des variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.
Nous démontrons le théorème des deux carrés de Fermat (qui donne des conditions sur la décomposition en facteurs premiers d’un entier pour que celui-ci soit somme de deux carrés) à l’aide de l’anneau des entiers de Gauss .
On établit la convergence en loi vers une loi de Poisson d’une suite de variables aléatoires.
On calcule la transformée de Fourier d’une fonction de type gaussienne à l’aide du théorème intégral de Cauchy.
Nous montrons le théorème de trigonalisation simultanée grâce à l’utilisation des applications transposées (et donc, de la dualité).