Liste des leçons
101 Groupe opérant sur un
ensemble. Exemples et applications.
102 Groupe des nombres complexes
de module 1. Racines de l’unité. Applications.
103 Conjugaison dans un groupe.
Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients.
Applications.
104 Groupes finis. Exemples et
applications.
105 Groupe des permutations d’un
ensemble fini. Applications.
106 Groupe linéaire d’un espace
vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 Exemples de parties
génératrices d’un groupe. Applications.
120 Anneaux Z/nZ. Applications.
121 Nombres premiers.
Applications.
122 Anneaux principaux. Exemples
et applications.
123 Corps finis.
Applications.
125 Extensions de corps.
Exemples et applications.
127 Exemples de nombres
remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables.
Applications.
141 Polynômes irréductibles à
une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 PGCD et PPCM, algorithmes de
calcul. Applications.
144 Racines d’un polynôme.
Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
148 Dimension d’un espace
vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples
et applications.
149 Déterminant. Exemples et
applications.
150 Polynômes d’endomorphisme en
dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie.
Applications.
151 Sous-espaces stables par un
endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de
dimension finie. Applications.
152 Endomorphismes
diagonalisables en dimension finie.
153 Valeurs propres, vecteurs
propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres.
Applications.
154 Exemples de décompositions
de matrices. Applications.
155 Exponentielle de matrices.
Applications.
156 Endomorphismes
trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
157 Matrices symétriques
réelles, matrices hermitiennes.
158 Endomorphismes remarquables
d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
159 Formes linéaires et dualité
en dimension finie. Exemples et applications.
162 Systèmes d’équations
linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et
conséquences théoriques.
170 Formes quadratiques sur un
espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie.
Applications.
171 Formes quadratiques réelles.
Coniques. Exemples et applications.
190 Méthodes combinatoires,
problèmes de dénombrement.
191 Exemples d’utilisation de
techniques d’algèbre en géométrie.
201 Espaces de fonctions.
Exemples et applications.
203 Utilisation de la notion de
compacité.
204 Connexité. Exemples
d’applications.
205 Espaces complets. Exemples
et applications.
206 Exemples d’utilisation de la
notion de dimension finie en analyse.
208 Espaces vectoriels normés,
applications linéaires continues. Exemples.
209 Approximation d’une fonction
par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
213 Espaces de Hilbert. Exemples
d’applications.
214 Théorème d’inversion locale,
théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en
géométrie.
215 Applications différentiables
définies sur un ouvert de Rn. Exemples et
applications.
218 Formules de Taylor. Exemples
et applications.
219 Extremums : existence,
caractérisation, recherche. Exemples et applications.
221 Équations différentielles
linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et
applications.
223 Suites numériques.
Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
224 Exemples de développements
asymptotiques de suites et de fonctions.
226 Suites vectorielles et
réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée
d’équations.
228 Continuité, dérivabilité des
fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
229 Fonctions monotones.
Fonctions convexes. Exemples et applications.
230 Séries de nombres réels ou
complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries
numériques. Exemples.
234 Fonctions et espaces de
fonctions Lebesgue-intégrables.
235 Problèmes d’interversion de
symboles en analyse.
236 Illustrer par des exemples
quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs
variables.
239 Fonctions définies par une
intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 Suites et séries de
fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 Séries entières, propriétés
de la somme. Exemples et applications.
244 Exemples d’études et
d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
245 Fonctions holomorphes et
méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et
applcations.
246 Séries de Fourier. Exemples
et applications.
250 Transformation de Fourier.
Applications.
253 Utilisation de la notion de
convexité en analyse.
261 Loi d’une variable aléatoire
: caractérisations, exemples, applications.
262 Convergences d’une suite de
variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 Variables aléatoires
discrètes. Exemples et applications.
266 Utilisation de la notion
d’indépendance en probabilités.