Critère d’Eisenstein

Critère d’Eisenstein

algebra

Ici, nous démontrons le célèbre critère d’Eisenstein que l’on utilise énormément en pratique pour montrer qu’un polynôme est irréductible.

Soit un anneau commutatif et unitaire.

Notation 1. Soit . On note le contenu du polynôme .

Lemme 2. Soit tel que est premier. Alors est intègre.

Démonstration. Soient . On suppose . Comme , on a . Donc par hypothèse, et ainsi est bien intègre. ◻

Lemme 3. Si est intègre, alors l’est aussi.

Démonstration. Soient non nuls, de degrés respectifs et que l’on écrit et . Alors, le coefficient de dans le produit est . Comme , et est intègre, ce coefficient est non nul. Donc en particulier, le produit est non nul. ◻

Lemme 4. On suppose factoriel. Soit irréductible. Alors est premier.

Démonstration. On suppose que avec . Alors, il existe tel que Si est inversible, alors . De même, si est inversible, alors . Supposons donc que et ne sont pas inversibles. Comme est irréductible, on en déduit que est un élément non nul et non inversible de . Il existe donc des décompositions en irréductibles avec . Par conséquent, en injectant dans : Comme la factorisation en irréductibles est unique à l’ordre près, il existe ou qui est associé à . Si bien que divise ou ; c’est ce que l’on voulait démontrer. ◻

Lemme 5 (Gauss). On suppose factoriel. Alors :

  1. Le produit de deux polynômes primitifs est primitif.

  2. , .

Démonstration.

  1. Soient tels que . Supposons . Alors, il existe irréductible tel que divise tous les coefficients de . Donc, dans , .

    Mais, par le Lemme 4, est premier. Donc par le Lemme 2 est intègre, et en particulier, l’est aussi par le Lemme 3. Ainsi, ou : absurde.

  2. En factorisant, on écrit et avec . D’où avec par . Ainsi,

 ◻

Théorème 6 (Critère d’Eisenstein). Soient le corps des fractions de et de degré . On suppose que est factoriel et qu’il existe irréductible tel que :

  1. , .

  2. .

  3. .

Alors est irréductible dans .

Démonstration. Par l’absurde, on suppose avec de degré supérieur ou égal à . Soit un multiple commun à tous les dénominateurs des coefficients non nuls de et . On a On applique le Lemme 5 pour obtenir : En factorisant, on écrit et avec . Il vient : Et comme et que est intègre, on a avec , de degré supérieur ou égal à .

On pose et avec par définition de . Dans , on a et en particulier, le terme de degré , est nul. Mais, est irréductible et est factoriel, donc au vu du Lemme 4, est premier et est intègre par le Lemme 2. Donc par le Lemme 3, est aussi intègre. D’où ou (mais pas les deux car sinon , ce qui serait en contradiction avec ).

On suppose donc et . Si on avait , , on aurait en particulier , et donc (exclu par ). Donc, Ainsi, ce qui est absurde au vu de la condition car avec . ◻

Application 7. Soit . Il existe des polynômes irréductibles de degré sur .

Démonstration. On applique le Théorème 6 au polynôme avec le premier qui nous donne l’irréductibilité du polynôme sur . Reste à montrer qu’il est irréductible sur .

Or, en supposant réductible sur , on peut écrire avec de degré supérieur ou égal à car est primitif. Mais à fortiori, et ne sont pas inversibles donc est réductible sur : absurde. ◻