Décomposition de Dunford

Décomposition de Dunford

algebra

On démontre l’existence et l’unicité de la décomposition de Dunford pour tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif .

Théorème 1 (Décomposition de Dunford). Soit un endomorphisme tel que son polynôme minimal soit scindé sur . Alors il existe un unique couple d’endomorphismes tel que :

  • .

  • est diagonalisable et est nilpotent.

  • .

Démonstration. On écrit et pour tout , on note le -ième sous-espace caractéristique de .

Construction : Comme , il suffit de définir et sur chaque . On les définit pour tout et pour tout comme tels :

  • .

Vérification :

  • Les restrictions de et à sont bien des endomorphismes car les espaces sont stables par et par (cf. définition de ), donc aussi par .

  • est diagonalisable et pour tout , (car par définition de ). On pose donc et on a pour tout , donc par somme directe. Ainsi, est nilpotent.

  • Pour tout , on a , donc i.e. et commutent sur chaque donc sur tout entier.

Unicité : Soit un autre couple d’endomorphismes de vérifiant les hypothèses. On remarque d’abord que et commutent (car commute avec et , donc avec aussi). Pour tout , est stable par (car ). Comme , on en déduit que sur . Donc c’est également vrai sur tout entier. Ainsi, et sont diagonalisables dans une même base, donc est disagonalisable.

D’autre part, comme , et que et commutent, et commutent. Si on choisit et tels que , alors : (dans chaque terme de la somme, soit , soit ). Donc est nilpotent. Or nous avions montré que est diagonalisable, donc . Finalement, on a et . ◻

Remarque 2. On peut démontrer que les endomorphismes et sont des polynômes en .