Démonstration. On écrit ${\pi }_f=(-1{)}^n{\prod }_{i=1}^s(X-{\lambda }_i{)}^{{\alpha }_i}$ et pour tout $i$, on note $N_i=\mathrm{Ker}((f-{\lambda }_i{\mathrm{id}}_E{)}^{{\alpha }_i})$ le $i$-ième sous-espace caractéristique de $f$.

Construction : Comme $E=N_1\oplus \cdots \oplus N_s$, il suffit de définir $d$ et $n$ sur chaque $N_i$. On les définit pour tout $i$ et pour tout $x\in N_i$ comme tels :

• $d(x)={\lambda }_{i}x⟹d_{|N_i}={\lambda }_i{\mathrm{id}}_{N_i}$

• $n(x)=f(x)-{\lambda }_{i}x=f(x)-d(x)⟹n=f-d$.

Vérification :

• Les restrictions de $d$ et $n$ à $N_i$ sont bien des endomorphismes car les espaces $N_i$ sont stables par $f$ et par $d$ (cf. définition de $d$), donc aussi par $n=f-d$.

• $d$ est diagonalisable et pour tout $i$, $n_{|N_i}^{{\alpha }_i}=0$ (car $\forall x\in N_i,(f-{\lambda }_i{)}^{{\alpha }_i}(x)=0$ par définition de $N_i$). On pose donc $\alpha ={\max }_i\{{\alpha }_i\}$ et on a $n_{|N_i}^{\alpha }=0$ pour tout $i$, donc $n^{\alpha }=0$ par somme directe. Ainsi, $n$ est nilpotent.

• Pour tout $i$, on a $d_{|N_i}={\lambda }_i{\mathrm{id}}_E$, donc $n_{|N_i}\circ d_{|N_i}=d_{|N_i}\circ n_{|N_i}$ i.e. $d$ et $n$ commutent sur chaque $N_i$ donc sur $E$ tout entier.

Unicité : Soit $(d^{\prime },n^{\prime })$ un autre couple d’endomorphismes de $E$ vérifiant les hypothèses. On remarque d’abord que $d^{\prime }$ et $f$ commutent (car $d^{\prime }$ commute avec $d^{\prime }$ et $n^{\prime }$, donc avec $f=d^{\prime }+n^{\prime }$ aussi). Pour tout $i$, $N_i$ est stable par $d^{\prime }$ (car $\forall x\in N_i,(f-{\lambda }_i{\mathrm{id}}_E{)}^{{\alpha }_i}(d^{\prime }(x))=d^{\prime }\circ (f-{\lambda }_i{\mathrm{id}}_E{)}^{{\alpha }_i}(x)=0$). Comme $d_{|N_i}={\lambda }_i{\mathrm{id}}_{N_i}$, on en déduit que $d\circ d^{\prime }=d^{\prime }\circ d$ sur $N_i$. Donc c’est également vrai sur $E$ tout entier. Ainsi, $d$ et $d^{\prime }$ sont diagonalisables dans une même base, donc $d-d^{\prime }$ est diagonalisable.

D’autre part, comme $n=f-d$, $n^{\prime }=f-d^{\prime }$ et que $d$ et $d^{\prime }$ commutent, $n$ et $n^{\prime }$ commutent. Si on choisit $p$ et $q$ tels que $n^p=n^{\prime q}=0$, alors : $$(n-n^{\prime }{)}^{p+q}=\sum _{i=0}^{p+q}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{i})n^i(-1{)}^{p+q-i}{n}^{\prime p+q-i}=0$$ (dans chaque terme de la somme, soit $i\ge p$, soit $p+q-i\ge q$). Donc $n-n^{\prime }=d^{\prime }-d$ est nilpotent. Or nous avions montré que $d^{\prime }-d$ est diagonalisable, donc $d^{\prime }-d=0$. Finalement, on a $d=d^{\prime }$ et $n=n^{\prime }$. ◻