Décomposition polaire

Décomposition polaire

algebra

On montre que toute matrice peut s’écrire de manière unique avec et , et que l’application est un homéomorphisme.

Lemme 1. Soit . Alors si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

Démonstration. Par le théorème spectral, on peut écrire avec . Si on suppose , on a , d’où le résultat.

Réciproquement, on suppose , . Avec (où désigne le vecteur dont la première coordonnée vaut et les autres sont nulles), Et on peut faire de même pour montrer que , . ◻

Lemme 2. est un fermé de et .

Démonstration. Pour la première assertion, il suffit de constater que qui est une intersection de fermés (par image réciproque). Maintenant, si , alors est diagonalisable avec des valeurs propres positives ou nulles (par le théorème spectral). Mais comme , toutes les valeurs propres de sont strictement positives. Donc par le Lemme 1, . ◻

Théorème 3 (Décomposition polaire). L’application est un homéomorphisme.

Démonstration. Montrer qu’une application est un homéomorphisme se fait en étapes : on montre qu’elle est continue, injective, surjective, et que la réciproque est elle aussi continue.

  • L’application est bien définie et continue : Si et , alors . De plus, est continue en tant que restriction de la multiplication matricielle.

  • L’application est surjective : Soit . Si , on a En particulier, . Par le théorème spectral, il existe et tels que . On pose alors de sorte que . Mais de plus, et par le Lemme 1, On pose donc (ie. ), et on a Donc et est surjective.

  • L’application est injective : Soit (avec et comme précédemment). Soit une autre décomposition polaire de . Alors il vient, Soit un polynôme tel que , (les polynômes d’interpolation de Lagrange conviennent parfaitement). Alors, Mais commute avec , donc avec . En particulier, et sont codiagonalisables, il existe et tels que d’où : Ainsi, . Donc est injective.

  • L’application inverse est continue : Soit qui converge vers . Il s’agit de montrer que la suite converge vers . Comme est compact, il existe strictement croissante telle que la suite extraite converge vers une valeur d’adhérence . Ainsi, la suite converge vers .

    Mais, . Donc par le Lemme 1, et par le Lemme 2, Par unicité de la décomposition polaire, on a , d’où et .

 ◻

Remarque 4. La preuve vaut encore dans le cas complexe (pour le groupe unitaire et les matrices hermitiennes).