Démonstration. Par le théorème spectral, on peut écrire $S={}^{t}P\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P$ avec $P\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$. Si on suppose ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n>0$, on a $\forall x\ne 0$, $${}^{t}xSx={}^t(Px)\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)(Px)>0\text{ car }\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$$ d’où le résultat.

Réciproquement, on suppose $\forall x\ne 0$, ${}^{t}xSx>0$. Avec $x={}^{t}P{e}_1$ (où $e_1$ désigne le vecteur dont la première coordonnée vaut $1$ et les autres sont nulles), $${}^{t}xSx={}^t(Px)\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)(Px)={}^t{e}_{1}D{e}_1={\lambda }_1>0$$ Et on peut faire de même pour montrer que $\forall i\in [[1,n]]$, ${\lambda }_i>0$. ◻

Démonstration. Pour la première assertion, il suffit de constater que $${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid {}^{t}M=M\}\cap \left(\bigcap _{x\in {\mathbb{R}}^n}\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid {}^{t}xMx\ge 0\}\right)$$ qui est une intersection de fermés (par image réciproque). Maintenant, si $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, alors $M$ est diagonalisable avec des valeurs propres positives ou nulles (par le théorème spectral). Mais comme $\det (M)\ne 0$, toutes les valeurs propres de $M$ sont strictement positives. Donc par le Lemme 1, $M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. ◻

Démonstration. Montrer qu’une application est un homéomorphisme se fait en $4$ étapes : on montre qu’elle est continue, injective, surjective, et que la réciproque est elle aussi continue.

• L’application est bien définie et continue : Si $O\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ et $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $OS\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. De plus, $\mu$ est continue en tant que restriction de la multiplication matricielle.

• L’application est surjective : Soit $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. Si $x\ne 0$, on a $${}^{t}x({}^{t}MM)x={}^t(Mx)(Mx)=\Vert Mx{\Vert }_2^2>0$$ En particulier, ${}^{t}MM\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Par le théorème spectral, il existe $P\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ et ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n>0$ tels que ${}^{t}MM=P\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{-1}$. On pose alors $$D=\mathrm{Diag}\left(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n}\right)\text{ et }S=PD{P}^{-1}$$ de sorte que $S^2={}^{t}MM$. Mais de plus, $${}^{t}S={}^t{P}^{-1}{}^{t}D{}^{t}P=S⟹S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$$ et par le Lemme 1, $$\forall i\in [[1,n]],\sqrt{{\lambda }_i}>0⟹S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$$ On pose donc $O=M{S}^{-1}$ (ie. $M=OS$), et on a $${}^{t}OO={}^t(M{S}^{-1})M{S}^{-1}={}^t{S}^{-1}{}^{t}MM{S}^{-1}=S^{-1}{S}^2{S}^{-1}=I_n⟹O\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$$ Donc $\mu (O,S)=M$ et $\mu$ est surjective.

• L’application est injective : Soit $M=OS\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ (avec $O$ et $S$ comme précédemment). Soit $M=O^{\prime }{S}^{\prime }$ une autre décomposition polaire de $M$. Alors il vient, $$S^2={}^{t}MM={}^t(O^{\prime }{S}^{\prime })O^{\prime }{S}^{\prime }={}^t{S}^{\prime }{}^t{O}^{\prime }{O}^{\prime }{S}^{\prime }=S^{\prime 2}$$ Soit $Q$ un polynôme tel que $\forall i\in [[1,n]]$, $Q({\lambda }_i)=\sqrt{{\lambda }_i}$ (les polynômes d’interpolation de Lagrange conviennent parfaitement). Alors, $$S=PD{}^{t}P=PQ\left(D^2\right){}^{t}P=Q\left(P{D}^2{}^{t}P\right)=Q\left({}^{t}MM\right)=Q\left(S^2\right)=Q\left(S^{\prime 2}\right)$$ Mais $S^{\prime }$ commute avec $S^{\prime 2}$, donc avec $S=Q\left(S^{\prime 2}\right)$. En particulier, $S$ et $S^{\prime }$ sont codiagonalisables, il existe $P_0\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n,{\mu }_1^{\prime },\dots ,{\mu }_n^{\prime }\in \mathbb{R}$ tels que $$S=P_0\mathrm{Diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)P_0^{-1}\text{ et }{S}^{\prime }=P_0\mathrm{Diag}\left({\mu }_1^{\prime },\dots ,{\mu }_n^{\prime }\right)P_0^{-1}$$ d’où : $$\begin{array}{rl}{S}^2=S^{\prime 2}& ⟹P_0\mathrm{Diag}\left({\mu }_1^2,\dots ,{\mu }_n^2\right)P_0^{-1}=P_0\mathrm{Diag}\left({\mu }_1^{\prime 2},\dots ,{\mu }_n^{\prime 2}\right)P_0^{-1}\\ & ⟹{\mu }_i^2={\mu }_i^{\prime 2}\forall i\in [[1,n]]\\ & ⟹{\mu }_i={\mu }_i^{\prime }\forall i\in [[1,n]]\text{ car }\forall i\in [[1,n]],{\mu }_i>0\\ & ⟹S=S^{\prime }\end{array}$$ Ainsi, $O=M{S}^{-1}=M{S}^{\prime -1}=O^{\prime }$. Donc $\mu$ est injective.

• L’application inverse est continue : Soit $(M_p)\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R}{)}^{\mathbb{N}}$ qui converge vers $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. Il s’agit de montrer que la suite $\left({\mu }^{-1}\left(M_p\right)\right)=(O_p,S_p)$ converge vers ${\mu }^{-1}(M)=(O,S)$. Comme ${\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ est compact, il existe $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que la suite extraite $(O_{\phi (p)})$ converge vers une valeur d’adhérence $\overline{O}\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$. Ainsi, la suite $(S_{\phi (p)})$ converge vers $\overline{S}={\overline{O}}^{-1}M$.

  Mais, $\overline{S}={\overline{O}}^{-1}M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})\cap \overline{{\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})}$. Donc par le Lemme 1, $$\overline{S}\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$$ et par le Lemme 2, $$\overline{S}\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$$ On a $M=\overline{O}\overline{S}$, d’où, par unicité de la décomposition polaire, $\overline{O}=O$ et $\overline{S}=S$.

 ◻