Densité des polynômes orthogonaux

analysis

On montre que la famille des polynômes orthogonaux associée à une fonction poids $ρ$ vérifiant certaines hypothèses forme une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ (où $I$ est un intervalle de $R$ ).

[BMP]
p. 140

Soient $I$ un intervalle de $R$ et $ρ$ une fonction poids. On considère $(P_{n})$ la famille des polynômes orthogonaux associée à $ρ$ sur $I$ .

Lemme 1. On suppose que $\forall n \in N$ , $g_{n} : x \mapsto x^{n} \in L_{1} (I, ρ)$ . Alors $\forall n \in N$ , $g_{n} \in L_{2} (I, ρ)$ . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et $(P_{n})$ est bien définie.

Démonstration. On a $\forall n \in N$ , $\int_{I} ∣ x^{n} ∣^{2} ρ (x) d x = \int_{I} ∣ x^{2 n} ∣ ρ (x) d x = ∥ g_{2 n} ∥_{1} < + \infty$ ◻

Théorème 2. On suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x < + \infty$ alors $(P_{n})$ est une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ pour la norme $∥. ∥_{2}$ .

Démonstration. Soit $f \in Vect (g_{n})^{⊥} = Vect (P_{n})^{⊥}$ . On définit $\forall x \in R, φ (x) = {f (x) ρ (x) 0 si x \in I sinon$ Montrons que $φ \in L_{1} (R)$ . Remarquons tout d’abord que $\forall t \geq 0$ , $t \leq \frac{1 + t ^{2}}{2}$ . Ainsi, on a $\forall x \in I, ∣ f (x) ∣ ρ (x) \leq \frac{1 + ∣ f ( x ) ∣ ^{2}}{2} ρ (x)$ Comme $ρ$ et $ρ f^{2}$ sont intégrables sur $I$ , on en déduit que $φ \in L_{1} (R)$ . On peut donc considérer sa transformée de Fourier $φ : ξ \mapsto \int_{I} f (x) e^{- i ξ x} ρ (x) d x$ Montrons que $φ$ se prolonge en une fonction $F$ holomorphe sur $B_{a} = {z \in C ∣ ∣ Im (z) ∣ < \frac{a}{2}}$

$tikzpicture-1$

Définissons à présent $g : (z, x) \mapsto e^{- i z x} f (x) ρ (x)$ . Pour $z \in B_{a}$ , on a $\int_{I} ∣ g (z, x) ∣ d x \leq \int_{I} e^{\frac{a ∣ x ∣}{2}} ∣ f (x) ∣ ρ (x) d x$ En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour $∥. ∥_{2}$ , on obtient de plus $\int_{I} e^{\frac{a ∣ x ∣}{2}} ∣ f (x) ∣ ρ (x) d x \leq (\int_{I} e^{a ∣ x ∣} ρ (x) d x)^{\frac{1}{2}} (\int_{I} ∣ f (x) ∣^{2} ρ (x) d x)^{\frac{1}{2}} < + \infty (*)$ On définit la fonction $F$ par $\forall z \in B_{a}, F (z) = \int_{I} e^{- i z x} f (x) ρ (x) d x = \int_{I} g (z, x) d x$ L’inégalité $(*)$ montre que cette fonction est bien définie. De plus :

$\forall z \in B_{a}$ , $x \mapsto g (z, x)$ est mesurable.
pp. en $x \in I$ , $z \mapsto g (z, x)$ est holomorphe.
$\forall z \in B_{a}$ , $\forall x \in I$ , $∣ g (z, x) ∣ \leq h (x) = e^{\frac{a ∣ x ∣}{2}} ∣ f (x) ∣ ρ (x)$ et l’inégalité $(*)$ montre que $h \in L_{1} (I)$ .

Donc par le théorème d’holomorphie sous l’intégrale, la fonction $F$ est holomorphe sur $B_{a}$ , et coïncide sur $R$ avec $φ$ . Ce théorème nous dit de plus que $\forall n \in N, \forall z \in B_{a}, F^{(n)} (z) = (- i)^{n} \int_{I} x^{n} e^{- i z x} f (x) ρ (x) d x$ Ce qui donne, une fois évalué en $0$ : $\forall n \in N, F^{(n)} (0) = (- i)^{n} \int_{I} x^{n} f (x) ρ (x) d x = (- i)^{n} ⟨ g_{n}, f ⟩ = 0$ L’unicité du développement en série entière d’une fonction holomorphe montre que $F = 0$ sur un voisinage de $0$ . Le théorème du prolongement analytique implique alors que $F = 0$ sur le connexe $B_{a}$ tout entier, et donc en particulier, sur $R$ . Ainsi, $φ = 0$ . Comme $φ$ est une fonction intégrable, l’injectivité de la transformée de Fourier implique que $φ = 0$ . Comme $ρ (x) > 0$ , on en déduit que $f (x) = 0$ pp. en $x \in I$ . On vient donc de montrer qu’une fonction orthogonale à tous les polynômes est nulle i.e. $Vect (g_{n})^{⊥} = {0}$ . En ajoutant le Lemme 1 à ceci, on a bien que les polynômes orthogonaux forment une base hilbertienne de $L_{2} (I, ρ)$ . ◻

Contre-exemple 3. On considère, sur $I = R_{*}^{+}$ , la fonction poids $ρ : x \mapsto x^{- l n (x)}$ . On pose $\forall x \in I$ , $f (x) = sin (2 π ln (x))$ . On calcule $⟨ f, g_{n} ⟩ = \int_{I} x^{n} sin (2 π ln (x)) x^{- l n (x)} d x = y = l n (x) \int_{R} e^{(n + 1) y} sin (2 π y) e^{- y^{2}} d y = e^{\frac{( n + 1 ) ^{2}}{4}} \int_{R} e^{- (y - \frac{n + 1}{2})^{2}} sin (2 π y) d y = (- 1)^{n + 1} e^{\frac{( n + 1 ) ^{2}}{4}} \int_{R} sin (2 π t) e^{- t^{2}} d t, avec t = y - \frac{n + 1}{2} = f impaire 0$ Ainsi, la famille des $g_{n}$ n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.