Densité des polynômes orthogonaux
Densité des polynômes orthogonaux
analysis
On montre que la famille des polynômes orthogonaux associée à une fonction poids vérifiant certaines hypothèses forme une base hilbertienne de (où est un intervalle de ).
Soient un intervalle de et une fonction poids. On considère la famille des polynômes orthogonaux associée à sur .
Lemme 1. On suppose que , . Alors , . En particulier, l’algorithme de Gram-Schmidt a bien du sens et est bien définie.
Démonstration. On a , ◻
Théorème 2. On suppose qu’il existe tel que alors est une base hilbertienne de pour la norme .
Démonstration. Soit . On définit Montrons que . Remarquons tout d’abord que , . Ainsi, on a Comme et sont intégrables sur , on en déduit que . On peut donc considérer sa transformée de Fourier Montrons que se prolonge en une fonction holomorphe sur
Définissons à présent . Pour , on a En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour , on obtient de plus On définit la fonction par L’inégalité montre que cette fonction est bien définie. De plus :
, est mesurable.
pp. en , est holomorphe.
, , et l’inégalité montre que .
Donc par le théorème d’holomorphie sous l’intégrale, la fonction est holomorphe sur , et coïncide sur avec . Ce théorème nous dit de plus que Ce qui donne, une fois évalué en : L’unicité du développement en série entière d’une fonction holomorphe montre que sur un voisinage de . Le théorème du prolongement analytique implique alors que sur le connexe tout entier, et donc en particulier, sur . Ainsi, . Comme est une fonction intégrable, l’injectivité de la transformée de Fourier implique que . Comme , on en déduit que pp. en . On vient donc de montrer qu’une fonction orthogonale à tous les polynômes est nulle i.e. . En ajoutant le Lemme 1 à ceci, on a bien que les polynômes orthogonaux forment une base hilbertienne de . ◻
Contre-exemple 3. On considère, sur , la fonction poids . On pose , . On calcule Ainsi, la famille des n’est pas totale. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n’est donc pas totale non plus : ce n’est pas une base hilbertienne.