Démonstration. Commençons par poser le système d’équations linéaires homogène $$AX-XA=0$$ d’inconnue $X=(x_{i,j}{)}_{i,j\in [[1,n]]}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On note $\mathcal{S}$ l’espace des solutions de ce système.

Plaçons-nous d’abord dans le cas où $A=(a_{i,j}{)}_{i,j\in [[1,n]]}\in {\mathcal{T}}_n(\mathbb{K})$. Considérons ce système d’équations pour $X\in {\mathcal{T}}_n(\mathbb{K})$ ; on a alors $\frac{n(n+1)}{2}$ inconnues dans $\mathbb{K}$. Comme $AX-XA$ est triangulaire supérieure, dire que $X$ est solution revient à écrire $\frac{n(n+1)}{2}$ équations correspondant à la nullité des coefficients de $AX-XA$ dans la partie supérieure. Mais, de ces équations, on peut en retirer $n$ qui sont triviales (celles situées sur la diagonale, de la forme $a_{i,i}{x}_{i,i}-x_{i,i}{a}_{i,i}$). Ce système a donc $\frac{n(n+1)}{2}-n$ équations pour seulement $\frac{n(n+1)}{2}$ inconnues. Ainsi, $${\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{C}(A))={\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{S})\ge {\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{S}\cap {\mathcal{T}}_n(\mathbb{K}))\ge \frac{n(n+1)}{2}-\left(\frac{n(n+1)}{2}-n\right)=n$$ Si $A$ n’est pas triangulaire mais est tout de même trigonalisable, il existe $P\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ et $T\in {\mathcal{T}}_n(\mathbb{K})$ telles que $A=PT{P}^{-1}$. Ainsi, $$\begin{array}{rl}X\in \mathcal{C}(A)& ⟺AX=XA\\ & ⟺(PT{P}^{-1})X=X(PT{P}^{-1})\\ & ⟺T(P^{-1}XP)=(P^{-1}XP)T\\ & ⟺P^{-1}XP\in \mathcal{C}(T)\end{array}$$ et puisque $X\mapsto P^{-1}XP$ est un isomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on a $${\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{C}(A))={\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{C}(T))$$ donc on peut tout à fait se ramener au cas où $A$ est triangulaire supérieure.

Enfin, si $A$ n’est pas trigonalisable, on considère $\mathbb{L}$ une extension de $\mathbb{K}$ sur laquelle ${\chi }_A$ est scindé. L’application $$\phi :\begin{array}{ccc}{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})& \to & {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\\ X& \mapsto & AX-XA\end{array}$$ est linéaire, donc on peut considérer sa matrice $B\in {\mathcal{M}}_{n^2}(\mathbb{K})$ dans la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (il s’agit de la matrice associée au système d’équations linéaires). Alors $\mathcal{S}=\mathrm{Ker}(B)$. Le rang est invariant par extension de corps, donc $${\mathrm{rang}}_{\mathbb{K}}(B)={\mathrm{rang}}_{\mathbb{L}}(B)$$ d’où $$\begin{array}{rl}{\dim }_{\mathbb{K}}(\mathcal{S})& ={\dim }_{\mathbb{K}}(\mathrm{Ker}(B))\\ & =n^2-{\mathrm{rang}}_{\mathbb{K}}(B)\\ & =n^2-{\mathrm{rang}}_{\mathbb{L}}(B)\\ & ={\dim }_{\mathbb{L}}(\mathrm{Ker}(B))\\ & \ge n\end{array}$$ car $A$ est trigonalisable dans $\mathbb{L}$. D’où le résultat. ◻

Démonstration. Sens direct : Supposons $\mathbb{K}[A]=\mathcal{C}(A)$. Le Lemme 3 entraîne que $$\mathrm{deg}({\pi }_A)=\dim (\mathbb{K}[A])\ge n$$ Mais comme $\mathrm{deg}({\pi }_A)\le n$, on a $\mathrm{deg}({\pi }_A)=n$. Par le théorème de Cayley-Hamilton, on conclut $${\pi }_A={\chi }_A$$ Réciproque : On suppose ${\pi }_A={\chi }_A$. Par la Remarque 2, on peut trouver $x\in \in {\mathbb{K}}^n\setminus \{0\}$ tel que $(x,Ax,\dots ,A^{n-1}x)$ est une base de ${\mathbb{K}}^n$. Ainsi, l’application $$\phi :\begin{array}{ccc}\mathcal{C}(A)& \to & {\mathbb{K}}^n\\ B& \mapsto & Bx\end{array}$$ est linéaire injective. En effet, si $B\in \mathrm{Ker}(\phi )$, alors $$\forall k\in [[0,n-1]],B{A}^{k}x=A^{k}Bx=0⟹B=0$$ car $B$ s’annule sur une base de ${\mathbb{K}}^n$. D’où $\dim (\mathcal{C}(A))\le \dim ({\mathbb{K}}^n)=n$. On déduit à l’aide du Lemme 3 que $$\dim (\mathcal{C}(A))=n$$ Notons de plus que $$\dim (\mathbb{K}[A])=\mathrm{deg}({\pi }_A)=\mathrm{deg}({\chi }_A)=n$$ et comme $\mathbb{K}[A]\subseteq \mathcal{C}(A)$ (car tout polynôme en $A$ commute avec $A$), on a bien le résultat. ◻