Dimension du commutant

Dimension du commutant

algebra

Dans ce développement, on montre en se ramenant à la résolution d’un système d’équations linéaires homogène que la dimension du commutant d’une matrice est plus grande que celle de l’espace de départ. On applique ensuite ce résultat pour donner une condition nécessaire et suffisante qui permettant de calculer le commutant de cette matrice.

Soient un corps, et .

Notation 1.

  • On note l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre à coefficients dans le corps .

  • On note le commutant de .

Remarque 2. On considère acquis le fait que si , alors est cyclique :

Lemme 3.

Démonstration. Commençons par poser le système d’équations linéaires homogène d’inconnue . On note l’espace des solutions de ce système.

Plaçons-nous d’abord dans le cas où . Considérons ce système d’équations pour ; on a alors inconnues dans . Comme est triangulaire supérieure, dire que est solution revient à écrire équations correspondant à la nullité des coefficients de dans la partie supérieure. Mais, de ces équations, on peut en retirer qui sont triviales (celles situées sur la diagonale, de la forme ). Ce système a donc équations pour seulement inconnues. Ainsi, Si n’est pas triangulaire mais est tout de même trigonalisable, il existe et telles que . Ainsi, et puisque est un isomorphisme de , on a donc on peut tout à fait se ramener au cas où est triangulaire supérieure.

Enfin, si n’est pas trigonalisable, on considère une extension de sur laquelle est scindé. L’application est linéaire, donc on peut considérer sa matrice dans la base canonique de (il s’agit de la matrice associée au système d’équations linéaires). Alors . Le rang est invariant par extension de corps, donc d’où car est trigonalisable dans . D’où le résultat. ◻

Théorème 4.

Démonstration. Sens direct : Supposons . Le Lemme 3 entraîne que Mais comme , on a . Par le théorème de Cayley-Hamilton, on conclut Réciproque : On suppose . Par la 2, on peut trouver tel que est une base de . Ainsi, l’application est linéaire injective. En effet, si , alors car s’annule sur une base de . D’où . On déduit à l’aide du Lemme 3 que Notons de plus que et comme (car tout polynôme en commute avec ), on a bien le résultat. ◻