Démonstration. Comme $p\in ]1,2[$, on a $\frac{2}{p}>1$. Soit $r$ tel que $\frac{p}{2}+\frac{1}{r}=1$. On applique l’inégalité de Hölder à $g=|f{|}^p{1}_X$ de sorte que $${\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu =\Vert |f{|}^p{1}_X{\Vert }_1\le \Vert |f{|}^p{\Vert }_{\frac{2}{p}}\Vert 1_X{\Vert }_r\le \mu (X{)}^{\frac{1}{r}}\Vert f{\Vert }_2^p$$ d’où le résultat. ◻

Démonstration. Soit $f\in L_p$. On considère la suite de fonction $(f_n)$ définie par $$\forall n\in \mathbb{N},f_n=f{1}_{|f|\le n}$$ Clairement, $(f_n)$ est une suite de $L_2$. On va chercher à appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions $(g_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $g_n=|f_n-f{|}^p$ :

• $\forall n\in \mathbb{N}$, $g_n$ est mesurable.

• $(g_n)$ converge presque partout vers la fonction nulle.

• Par convexité de la fonction $x\mapsto x^p$, on a $$|f_n-f{|}^p=2^p{\left|\frac{f_n}{2}-\frac{f}{2}\right|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|f_n{|}^p)\le 2^p|f{|}^p\in L_1$$

On peut donc conclure $$\Vert f-f_n{\Vert }_p^p={\int }_X|f-f_n{|}^p\mathrm{d}\mu ⟶0$$ ce qu’il fallait démontrer. ◻

Démonstration. Soient $g\in L_q$ et $f\in L_p$. L’inégalité de Hölder donne $$|{\phi }_g(f)|\le \Vert g{\Vert }_q\Vert f{\Vert }_p$$ donc ${\phi }_g\in (L_p{)}^{\prime }$ et $|||{\phi }_g|||\le \Vert g{\Vert }_q$. De plus, si $g=0$, alors $|||{\phi }_g|||=\Vert g{\Vert }_q=0$. On peut donc supposer $g\ne 0$.

Soit $u$ une fonction mesurable de module 1, telle que $g=u|g|$. On pose $h=\overline{u}|g{|}^{q-1}$. Comme $q=p(q-1)$, on a $${\int }_X|h{|}^p\mathrm{d}\mu ={\int }_X|g{|}^{(q-1)p}\mathrm{d}\mu ={\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu <+\infty$$ d’où $h\in L_p$ et $\Vert h{\Vert }_p^p=\Vert g{\Vert }_q^q=|{\phi }_g(h)|$. Comme, $\frac{|{\phi }_g(h)|}{\Vert h{\Vert }_p}\le |||{\phi }_g|||$, on a en particulier, $$\underset{=|{\phi }_g(h)|}{\underbrace{{\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu }}\le |||{\phi }_g|||\underset{=\Vert h{\Vert }_p}{\underbrace{{\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}}}$$ et ainsi, $$|||{\phi }_g|||\ge {\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{1-\frac{1}{p}}={\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}=\Vert g{\Vert }_q$$ donc $|||{\phi }_g|||=\Vert g{\Vert }_q$ et $\phi$ est une isométrie.

Montrons qu’elle est surjective. Soit $\ell \in (L_p{)}^{\prime }$. D’après le Lemme 2, on a $L_2\subseteq L_p$, donc on peut considérer la restriction $\tilde{\ell }={\ell }_{|L_2}$. $$\forall f\in L_2,|\tilde{\ell }(f)|\le |||\ell |||\Vert f{\Vert }_p\le M\Vert \ell \Vert \Vert f{\Vert }_2⟹\tilde{\ell }\in (L_2{)}^{\prime }$$ Comme $L_2$ est un espace de Hilbert, on peut appliquer le théorème de représentation de Riesz à $\tilde{\ell }$. Il existe $g\in L_2$ telle que $$\forall f\in L_2,\tilde{\ell }(f)={\int }_{X}f\overline{g}\mathrm{d}\mu$$ Pour conclure, il reste à montrer que $g\in L_q$ et que l’égalité précédente est vérifiée sur $L_p$. Comme précédemment, on considère $u$ de module $1$ telle que $g=u|g|$ et on pose $f_n=\overline{u}|g{|}^{q-1}{1}_{|g|\le n}\in L_{\infty }\subseteq L_2$. On a $${\int }_X|g{|}^q{1}_{|g|\le n}\mathrm{d}\mu =|\ell (f_n)|\le \Vert \ell \Vert \Vert f_n{\Vert }_p=\Vert \ell \Vert {\left({\int }_X|g{|}^q{1}_{|g|\le n}\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}$$ D’où $${\left({\int }_X|g{|}^q{1}_{|g|\le n}\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}={\left({\int }_X|g{|}^q{1}_{|g|\le n}\mathrm{d}\mu \right)}^{1-\frac{1}{p}}\le |||\ell |||$$ D’après le théorème de convergence monotone, on a $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left({\int }_X|g{|}^q{1}_{|g|\le n}\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}={\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}\le |||\ell |||$$ Et en particulier, $g\in L_q$ de norme inférieure ou égale à $|||\ell |||$. Ainsi, on a $\forall f\in L_2$, $\ell (f)={\phi }_g(f)$. Les applications $\ell$ et ${\phi }_g$ sont continues sur $L_p$ et $L_2$ est dense dans $L_p$ (par le Lemme 3), donc on a bien $\ell ={\phi }_g=\phi (g)$. ◻