Dual de

Dual de

analysis

Avec les propriétés hilbertiennes de couplées à certaines propriétés des espaces , on montre que le dual d’un espace est pour , dans le cas où et où l’espace est de mesure finie.

Soit un espace mesuré de mesure finie.

Notation 1. On note , .

Lemme 2. Soient et . Alors telle que .

Démonstration. Comme , on a . Soit tel que . On applique l’inégalité de Hölder à de sorte que d’où le résultat. ◻

Lemme 3. Soit . Alors est dense dans pour la norme .

Démonstration. Soit . On considère la suite de fonction définie par Clairement, est une suite de . On va chercher à appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions définie pour tout par :

  • , est mesurable.

  • converge presque partout vers la fonction nulle.

  • Par convexité de la fonction , on a

On peut donc conclure ce qu’il fallait démontrer. ◻

Théorème 4. L’application est une isométrie linéaire surjective. C’est donc un isomorphisme isométrique.

Démonstration. Soit et . L’inégalité de Hölder donne donc et . De plus, si , alors . On peut donc supposer .

Soit une fonction mesurable de module 1, telle que . On pose . Comme , on a d’où et . Comme, , on a en particulier, et ainsi, donc et est une isométrie.

Montrons qu’elle est surjective. Soit . D’après le Lemme 2, on a , donc on peut considérer la restriction . Comme est un espace de Hilbert, on peut appliquer le théorème de représentation de Riesz à . Il existe telle que Pour conclure, il reste à montrer que et que l’égalité précédente est vérifiée sur . Comme dans précédemment, on considère de module telle que et on pose . On a D’où D’après le théorème de convergence monotone, on a Et en particulier, . Ainsi, on a , . Les applications et sont continues sur et est dense dans (par le Lemme 3), donc on a bien . ◻

Remarque 5. Plus généralement, si l’on identifie et :

  • est le dual topologique de pour .

  • est le dual topologique de si est -finie.