Démonstration. On fait la décomposition de Dunford de $A$ : $A=D+N$. Comme $D$ et $N$ commutent, on a $e^{tA}=e^{tD}{e}^{tN}$. Soient $P$ la matrice de passage donnée par la base de diagonalisation de $D$ et ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ ses valeurs propres. En notant $|||.|||$ la norme subordonnée à $\Vert .{\Vert }_{\infty }$ sur ${\mathbb{C}}^n$, on a $\forall t\ge 0$, $$\begin{array}{rl}|||e^{tD}|||& =|||e^{tP\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{-1}}|||\\ & =|||P{e}^{t\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)}{P}^{-1}|||\\ & \le \underset{=\alpha }{\underbrace{|||P||||||P^{-1}|||}}\underset{\Vert x{\Vert }_{\infty }=1}{\sup }\Vert \mathrm{Diag}(e^{t{\lambda }_1},\dots ,e^{t{\lambda }_n})x{\Vert }_{\infty }\\ & \le \alpha \underset{i\in [[1,n]]}{\sup }|e^{t{\lambda }_i}|\\ & \le \alpha e^{-\lambda t}\end{array}$$ où $\lambda >0$ par hypothèse. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc il existe $\beta >0$ tel que $|||e^{tD}|||\le \beta e^{-\lambda t}$.

Pour conclure, en notant $r$ l’indice de nilpotence de $N$, $$\begin{array}{rl}\Vert e^{tA}\Vert & \le \Vert e^{tD}\Vert \Vert e^{tN}\Vert \\ & \le e^{-\lambda t}\underset{=P(t)}{\underbrace{\sum _{k=0}^{r-1}\beta \frac{\Vert N{\Vert }^k{t}^k}{k}}}\end{array}$$ ◻

Démonstration. Comme l’application $\phi :X\mapsto AX+XB$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, qui est un espace vectoriel de dimension finie, il suffit de montrer qu’elle est surjective pour obtenir l’injectivité (et donc l’unicité de la solution). Soit $C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. On considère le problème de Cauchy suivant d’inconnue $Y:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ : $$\{\begin{array}{l}{Y}^{\prime }=AY+YB\\ Y(0)=C\end{array}\text{\hspace{1em}(E)}$$ Il s’agit d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants (on peut voir cela notamment en calculant les produits $AY$ et $YB$ et en effectuant la somme ; l’égalité matricielle avec $Y^{\prime }$ donnant le système d’équations voulu). D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, $(E)$ admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, que l’on note $Y$.

On vérifie que la solution est définie $\forall t\in \mathbb{R}$ par $Y(t)=\exp (tA)C\exp (tB)$. En effet pour tout $t\in \mathbb{R}$, on a : $$Y^{\prime }(t)=A\exp (tA)C\exp (tB)+\exp (tA)CB\exp (tB)=AY+YB$$ car toute matrice $M$ commute avec son exponentielle (puisque $\exp (M)$ est limite d’un polynôme en $M$) et donc $M$ commute aussi avec $\exp (tM)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.

On va maintenant montrer que $X=-{\int }_0^{+\infty }Y(s)\mathrm{d}s$ est la solution de l’équation de Sylvester. Pour tout $t\ge 0$, on intègre $Y^{\prime }$ entre $0$ et $t$ pour obtenir : $$Y(t)-C={\int }_0^t{Y}^{\prime }(s)\mathrm{d}s=A\times {\int }_0^{t}Y(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{t}Y(s)\mathrm{d}s\times B$$ Il ne reste donc plus qu’à montrer que $Y(t)⟶0$ et que $Y$ est intégrable pour conclure. Par le Lemme 1, il existe ${\lambda }_1,{\lambda }_2>0$ et $P_1,P_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ polynômiales tels que $\Vert e^{tA}\Vert \le e^{-{\lambda }_{1}t}{P}_1(t)$ et $\Vert e^{tB}\Vert \le e^{-{\lambda }_{2}t}{P}_2(t)$ pour tout $t\ge 0$. Ainsi, en posant $\lambda =\max ({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ et $P=P_1{P}_2$, comme $\Vert .\Vert$ est une norme d’algèbre : $$\Vert Y(t)\Vert =\Vert e^{tA}C{e}^{tB}\Vert \le \Vert C\Vert P(t)e^{-2\lambda t}$$ En particulier, on a bien $Y(t)⟶0$. De plus, comme $\Vert C\Vert P(t)e^{-2\lambda t}$ est intégrable sur $[0,+\infty [$ et domine $\Vert Y(t)\Vert$, alors $Y$ est aussi intégrable $[0,+\infty [$. Finalement, en faisant $t⟶+\infty$, on obtient : $$-C=A\times {\int }_0^{+\infty }Y(s)\mathrm{d}s+{\int }_0^{+\infty }Y(s)\mathrm{d}s\times B$$ Donc $\phi (X)=C$ : $\phi$ est surjective et $X$ est bien la solution de l’équation de Sylvester. ◻

Démonstration. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. L’ensemble $\mathbb{C}[M]=\{P(M)\mid P\in \mathbb{C}[X]\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ qui est de dimension finie, donc $\mathbb{C}[M]$ l’est aussi et est en particulier fermé.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $P_n={\sum }_{k=0}^n\frac{M^k}{k!}\in \mathbb{C}[M]$ de sorte que $P_n{⟶}_{n\to +\infty }\exp (M)$. Comme $\mathbb{C}[M]$ est fermé, on en déduit que $\exp (M)\in \mathbb{C}[M]$. Donc $\exists P\in \mathbb{C}[X]$ tel que $\exp (M)=P(M)$. ◻