Démonstration. Soit $X$ une partie fermée bornée de ${\mathbb{R}}^n$. Soit $(x_n)$ une suite de $X$. On note $\forall k\in \mathbb{N}$, $\forall i\in [[1,n]]$, $x_k^i$ la $i$-ième composante du vecteur $x_k$. Comme $X$ est bornée, alors $(\Vert x_n{\Vert }_{\infty })$ est une suite réelle bornée. Montrons par récurrence que, pour tout $k\in [[1,n]]$, il existe des extractrices ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_i$ telle que la suite réelle $(x_{{\phi }_1\circ \cdots \circ {\phi }_i(n)}^i)$ converge pour tout $i\in [[1,k]]$.

• Pour $k=1$, c’est une réécriture du théorème de Bolzano-Weierstrass.

• Pour $k>1$, supposons avoir construit ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k$ telles que $(x_{{\phi }_1\circ \cdots \circ {\phi }_k(n)}^i)$ converge pour tout $i\in [[1,k]]$. Comme $$|x_n^{k+1}|\le \Vert x_n{\Vert }_{\infty }$$ $(x_{{\phi }_1\circ \cdots \circ {\phi }_k(n)}^{k+1})$ est une suite réelle bornée. Toujours par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extractrice ${\phi }_{k+1}$ telle que $(x_{{\phi }_1\circ \cdots \circ {\phi }_{k+1}}^{k+1}(n))$ converge. D’où l’hérédité.

La propriété est en particulier vraie pour $k=n$. En posant $\phi ={\phi }_1\circ \cdots \circ {\phi }_n$, on obtient une extractrice telle que $$\forall i\in [[1,n]],(x_{\phi (n)}^i)\text{ converge}$$ et on en déduit que $(x_{\phi (n)})$ converge vers un réel $x\in {\mathbb{R}}^n$. Comme $X$ est fermé, $x\in X$. $X$ est donc séquentiellement compact, donc compact. ◻

Démonstration. Soit $(y_n)$ une suite d’éléments de $f(E)$. On pose $\forall n\in \mathbb{N}$, $x_n=f(y_n)$. $E$ est compact, donc il existe une extractrice $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ telle que $x_{\phi (n)}{⟶}_{n\to +\infty }x$ où $x\in E$. Par continuité, $$y_{\phi (n)}=f(x_{\phi (n)}){⟶}_{n\to +\infty }f(x)\in f(E)$$ $f(E)$ est ainsi séquentiellement compact, donc est compact. ◻

Démonstration. Soient $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. On définit la norme infinie ${\mathcal{N}}_{\infty }$ associée à la base $\mathcal{B}$ pour tout $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i\in E$ par $${\mathcal{N}}_{\infty }:x\mapsto \underset{i\in [[1,n]]}{\max }|x_i|$$ Si $\mathcal{N}$ est une norme sur $E$, on a : $$\mathcal{N}(x)\le \underset{=\alpha }{\underbrace{\left(\sum _{i=1}^n\mathcal{N}(e_i)\right)}}{\mathcal{N}}_{\infty }(x)$$ Donc ${\mathcal{N}}_{\infty }$ est plus fine que $\mathcal{N}$.

Définissons l’isomorphisme suivant : $$f:\begin{array}{ccc}({\mathbb{R}}^n,\Vert .{\Vert }_{\infty })& \to & (E,\mathcal{N})\\ (x_1,\dots ,x_n)& \mapsto & {\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i\end{array}$$ La fonction $f$ vérifie $$\forall x\in {\mathbb{R}}^n,\mathcal{N}(f(x))\le \alpha \Vert x{\Vert }_{\infty }$$ c’est une application linéaire bornée, qui est donc continue. On considère l’ensemble $$S_E=f(S)$$ où $S$ désigne la sphère unité de $({\mathbb{R}}^n,\Vert .{\Vert }_{\infty })$ qui est compacte d’après le Lemme 1. D’après le Proposition 2, $S_E$ est compacte comme image d’un compact par une application continue.

Montrons que $S_E$ est la sphère unité de $(E,{\mathcal{N}}_{\infty })$. Déjà, si $x\in S$, alors ${\mathcal{N}}_{\infty }(f(x))=\Vert x{\Vert }_{\infty }=1$, d’où l’inclusion directe. Pour l’inclusion réciproque, si $y\in S_E$, par bijectivité de $f$, on peut écrire $y=f^{-1}(x)$ avec $x\in {\mathbb{R}}^n$ et ainsi $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\mathcal{N}}_{\infty }(f(x))=1$.

L’application $\mathcal{N}:E\to \mathbb{R}$ est continue car lipschitzienne ($\forall x,y\in E,|\mathcal{N}(x)-\mathcal{N}(y)|\le \mathcal{N}(x-y)$), donc est bornée et atteint ses bornes sur la sphère $S_E$. On note $x_0\in E$ ce minimum : $$\forall x\in E\text{ tel que }{\mathcal{N}}_{\infty }(x)=1,\text{ on a }\mathcal{N}(x)\ge \underset{=\beta }{\underbrace{\mathcal{N}(x_0)}}$$ Ainsi, $$\forall x\in E,\mathcal{N}\left(\frac{x}{{\mathcal{N}}_{\infty }(x)}\right)\ge \beta \text{ ie. }\mathcal{N}(x)\ge \beta {\mathcal{N}}_{\infty }(x)$$ Donc $\mathcal{N}$ est plus fine que ${\mathcal{N}}_{\infty }$ : les normes $\mathcal{N}$ et ${\mathcal{N}}_{\infty }$ sont équivalentes. Comme la relation d’équivalence sur les normes d’un espace vectoriel est transitive, on en déduit que toutes les normes sur $E$ sont équivalentes. ◻

Démonstration. Notons $\overline{B}$ la boule unité fermée de $E$ et supposons $E$ de dimension finie $n\in \mathbb{N}$. Comme dans la démonstration du théorème précédent, $\overline{B}$ est compacte comme image de la boule unité fermée de $({\mathbb{R}}^n,\Vert .{\Vert }_{\infty })$ par l’application continue $f$. Réciproquement, supposons $E$ de dimension finie et, par l’absurde, également que $\overline{B}$ est compacte. On a, $$\overline{B}\subseteq \bigcup _{x\in E}B(x,1)$$ où $B(x,1)$ désigne la boule ouverte centrée en $x$ de rayon $1$. Par la propriété de Borel-Lebesgue, il existe $x_1,\dots ,x_n\in E$ tels que $$\overline{B}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}B(x_i,1)$$ On définit $F=\mathrm{Vect}(x_1,\dots ,x_n)$. Comme $F$ est de dimension finie et $E$ de dimension infinie, on peut trouver $y\in E\setminus F$. Soit $x_0\in F$ le projeté de $y$ sur $F$ : $$d(y,F)=\Vert y-x_0\Vert >0$$ On pose $$u=\frac{y-x_0}{\Vert y-x_0\Vert }$$ On a $u$ de norme $1$, donc $u\in \overline{B}$ et il existe $i\in [[1,n]]$ tel que $\Vert u-x_i\Vert <1$. Or, $$\begin{array}{rl}\Vert u-x_i\Vert & =\frac{\Vert y-x_0-\Vert y-x_0\Vert x_i\Vert }{\Vert y-x_0\Vert }\\ & =\frac{\Vert y-(x_0-\Vert y+x_0\Vert x_i)\Vert }{\Vert y-x_0\Vert }\\ & \ge \frac{d(y,F)}{\Vert y-x_0\Vert }\\ & =1\end{array}$$ car $x_0+\Vert y-x_0\Vert x_i\in F$ : absurde. ◻