Démonstration. $\sigma$ est un polynôme homogène de degré $2$ sur $\mathbb{C}$ (car la somme des exposants est $2$ pour chacun des monômes), qui définit donc une forme quadratique sur ${\mathbb{C}}^n$. De plus, on peut écrire : $$\forall k\ge 1,s_k=\sum _{\begin{array}{c}{x}_i\text{ racine de P}\\ x_i\in \mathbb{R}\end{array}}{m}_i{x}^i+\sum _{\begin{array}{c}x\text{ racine de P}\\ x_i\in \mathbb{C}\end{array}}{m}_i(x^i+{\overline{x}}^k)$$ donc $s_k=\overline{s_k}$ ie. $s_k\in \mathbb{R}$. Donc $\sigma$ définit une forme quadratique ${\sigma }_{\mathbb{R}}$ sur ${\mathbb{R}}^n$. D’où le premier point.

Soit ${\phi }_k$ la forme linéaire sur ${\mathbb{C}}^n$ définie par le polynôme homogène de degré $1$ $$P_k(X_0,\dots ,X_{n-1})=X_0+x_k{X}_1+\cdots +x_k^{n-1}{X}_{n-1}$$ pour $k\in [[0,t]]$. Dans la base duale $(e_i^{\ast }{)}_{i\in [[0,n-1]]}$ de la base canonique $(e_i{)}_{i\in [[0,n-1]]}$ de ${\mathbb{C}}^n$, on a $${\phi }_k=e_0^{\ast }+x_k{e}_1^{\ast }+\cdots +x_k^{n-1}{e}_{n-1}^{\ast }$$ Et comme $$\det (({\phi }_k{)}_{k\in [[0,t]]})=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_0& x_1& \dots & x_t\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ x_0^{n-1}& x_1^{n-1}& \dots & x_t^{n-1}\end{array}\right|\stackrel{\text{Vandermonde}}{\ne }0$$ la famille $({\phi }_k{)}_{k\in [[0,t]]}$ est de rang $t$ sur $\mathbb{C}$. Or, le coefficient de $X_i{X}_j$ dans ${\sum }_{k=1}^t{m}_k{P}_k^2$ vaut $$\{\begin{array}{ll}{\sum }_{k=1}^t{m}_k{x}_k^{2i}=s_{i+j}& \text{ si }i=j\\ {\sum }_{k=1}^{t}2m_k{x}_k^i{x}_k^j={\sum }_{k=1}^{t}2m_k{x}_k^{i+j}=2s_{i+j}& \text{ sinon}\end{array}$$ donc, $\sigma ={\sum }_{k=1}^t{m}_k{\phi }_k^2$. En particulier, $\mathrm{rang}(\sigma )=t$ par indépendance des ${\phi }_k$. On en déduit, $$p+q=\mathrm{rang}({\sigma }_{\mathbb{R}})=\mathrm{rang}(\sigma )=t$$ (le rang est invariant par extension de corps).

Soit $k\in [[0,t]]$. Calculons la signature de la forme quadratique ${\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2$ :

• Si $x_k\in \mathbb{R}$, on a ${\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2=2{\phi }_k^2$, qui est de signature $(1,0)$ car ${\phi }_k\ne 0$.

• Si $x_k\notin \mathbb{R}$, on a ${\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2=2\mathrm{Re}({\phi }_k{)}^2-2\mathrm{Im}({\phi }_k{)}^2$ qui est bien une forme quadratique réelle. Et $x_k\ne \overline{x_k}$, donc la matrice $$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ x_k& \overline{x_k}\\ ⋮& ⋮\\ x_k^{n-1}& {\overline{x_k}}^{n-1}\end{array}\right)$$ est de rang $2$ (cf. le mineur correspondant aux deux premières lignes). Donc ${\phi }_k$ et $\overline{{\phi }_k}$ sont indépendantes. Ainsi, $\mathrm{rang}({\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2)=2$ sur $\mathbb{C}$, donc sur $\mathbb{R}$ aussi (toujours par invariance du rang par extension de corps). Donc la signature de ${\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2$ est $(1,1)$.

Maintenant, regroupons les ${\phi }_k$ conjuguées entre elles lorsqu’elles ne sont pas réelles : $$\sigma =\sum _{\begin{array}{c}k=1\\ x_k\in \mathbb{R}\end{array}}^t{m}_k{\phi }_k^2+\sum _{\begin{array}{c}k=1\\ x_k\notin \mathbb{R}\end{array}}^t{m}_k({\phi }_k^2+{\overline{{\phi }_k}}^2)$$ En passant à la signature, on obtient : $$(p,q)=(r,0)+\left(\frac{t-r}{2},\frac{t-r}{2}\right)=\left(\frac{t+r}{2},\frac{t-r}{2}\right)$$ où $r$ désigne le nombre de racines réelles distinctes de $P$. Par unicité de la signature d’une forme quadratique réelle, on a bien $p-q=r$. D’où le point $(ii)$. ◻