Formes de Hankel

Formes de Hankel

algebra

Le but de ce développement est de construire une forme quadratique permettant de dénombrer les racines réelles distinctes d’un polynôme en fonction de ses racines complexes.

Soit un polynôme de degré .

Théorème 1 (Formes de Hankel). On note les racines complexes de de multiplicités respectives . On pose Alors :

  1. définit une forme quadratique sur ainsi qu’une forme quadratique sur .

  2. Si on note la signature de , on a :

    • .

    • Le nombre de racines réelles distinctes de est .

Démonstration. est un polynôme homogène de degré sur (car la somme des exposants est pour chacun des monômes), qui définit donc une forme quadratique sur . De plus, on peut écrire : donc ie. . Donc définit une forme quadratique sur . D’où le point .

Soit la forme linéaire sur définie par le polynôme homogène de degré pour . Dans la base duale de la base canonique de , on a Et comme la famille est de rang sur . Or, le coefficient de dans vaut donc, . En particulier, par indépendant des . On en déduit, (le rang est invariant par extension de corps).

Soit . Calculons la signature de la forme quadratique :

  • Si , on a , qui est de signature car .

  • Si , on a qui est bien une forme quadratique réelle. Et , donc la matrice est de rang (cf. le mineur correspondant aux deux premières lignes). Donc et sont indépendantes. Ainsi, sur , donc sur aussi (toujours par invariance du rang par extension de corps). Donc la signature de est .

Maintenant, regroupons les conjuguées entre elles lorsqu’elles ne sont pas réelles : En passant à la signature, on obtient : désigne le nombre de racines réelles distinctes de . Par unicité de la signature d’une forme quadratique réelle, on a bien . D’où le point . ◻

Remarque 2. Tout l’intérêt de ces formes quadratiques est qu’on peut calculer les par récurrence en utilisant les polynômes symétriques élémentaires, sans avoir besoin des racines.

Proposition 3 (Sommes de Newton). On pose . Les sommes de Newton vérifient les relations suivantes :

  1. .

  2. .

  3. .