Formule de Stirling

analysis

Dans ce développement un peu technique, nous démontrons la formule de Stirling $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$ à l’aide du théorème central limite et de la fonction $Γ$ d’Euler.

Lemme 1. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle à densité. Alors $\forall n \geq 1$ , $\frac{Y - n}{n}$ est à densité et, $f_{\frac{Y - n}{n}} (x) = n f_{Y} (n + x n) pp. en x \in R$

Démonstration. $\forall x \in R$ , $F_{\frac{Y - n}{n}} (x) = P (\frac{Y - n}{n} \leq x) = P (Y \leq x n + n) = F_{Y} (x n + n)$ Or, la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle à densité est dérivable presque partout, et sa dérivée est presque partout égale à sa densité. Donc : $f_{\frac{Y - n}{n}} (x) = n f_{Y} (x n + n) pp. en x \in R$ ◻

Remarque 2. Il ne s’agit ni plus ni moins qu’une version affaiblie du théorème de changement de variable.

[G-K]
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Lemme 3. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X \sim Γ (a, γ)$ et $Y \sim Γ (b, γ)$ . Alors $Z = X + Y \sim Γ (a + b, γ)$ .

Démonstration. Soit $f_{a, γ} : x \mapsto \frac{γ ^{a}}{Γ ( a )} x^{a - 1} e^{- γ x} 1_{R^{+}} (x)$ la densité de la loi $Γ (a, γ)$ . $\forall x \geq 0$ , on a : $f_{Z} (x) = \int_{0}^{x} f_{a, γ} (t) f_{b, γ} (x - t) d t = \int_{0}^{x} \frac{γ ^{a}}{Γ ( a )} t^{a - 1} e^{- γ t} \frac{γ ^{b}}{Γ ( b )} (x - t)^{b - 1} e^{- γ (x - t)} d t = \frac{γ ^{a + b} e ^{- γ x}}{Γ ( a ) Γ ( b )} \int_{0}^{x} t^{a - 1} (x - t)^{b - 1} d t = t = ux \frac{γ ^{a + b} e ^{- γ x}}{Γ ( a ) Γ ( b )} x^{a + b - 1} \int_{0}^{1} u^{a - 1} (1 - u)^{b - 1} d t = K_{a, b} f_{a + b, γ} (x)$ où $K_{a, b} = \frac{Γ ( a + b )}{Γ ( a ) Γ ( b )} \int_{0}^{1} u^{a - 1} (1 - u)^{b - 1} d u$ . Notons par ailleurs que $f_{Z}$ est nulle sur $R^{-}$ et coïncide donc avec $K_{a, b} f_{a + b, γ}$ sur $R^{-}$ .

Pour conclure, on utilise la condition de normalisation : $1 = \int_{R} f_{Z} (x) d x = K_{a, b} \int_{R} f_{a + b, γ} (x) d x = K_{a, b}$ On obtient ainsi $f_{Z} = f_{a + b, γ}$ , ce que l’on voulait. ◻

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Théorème 4 (Formule de Stirling). $n! \sim 2 nπ (\frac{n}{e})^{n}$

Démonstration. Soit $(X_{n})$ une suite de variable aléatoires indépendantes de même loi $E (1)$ . On pose $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} X_{k}$ . Montrons par récurrence que $S_{n} \sim Γ (n + 1, 1)$ .

Pour $n = 0$ : c’est clair car $E (1) = Γ (1, 1)$ .
On suppose le résultat vrai à un rang $n \geq 0$ . Pour montrer qu’il reste vrai au rang $n + 1$ , il suffit d’appliquer le Lemme 3 à $S_{n} \sim Γ (n, 1)$ et $X_{n + 1} \sim Γ (1, 1)$ (qui sont bien indépendantes).

Par le Lemme 1 appliqué à $S_{n}$ , pp. en $x \in R$ , $f_{\frac{S _{n} - n}{n}} (x) = g_{n} (x) = n f_{S_{n}} (n + x n) = \frac{n}{Γ ( n + 1 )} n^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- (n + x n)} 1_{[- n, + \infty [} (x) = a_{n} h_{n} (x)$ avec :

$a_{n} = \frac{n ^{n + \frac{1}{2}} e ^{- n} 2 π}{Γ ( n + 1 )}$ (ce qui nous intéresse).
$h_{n} : x \mapsto \frac{e ^{- n x}}{2 π} (1 + \frac{x}{n})^{n} 1_{[- n, + \infty [} (x)$ (ce qui nous intéresse moins).

Montrons maintenant que $\frac{S _{n} - n}{n}$ converge en loi vers $N (0, 1)$ . D’après le théorème central limite, $\frac{S _{n} - E ( S _{n} )}{Var ( S _{n} )} ⟶ (d) N (0, 1)$ où :

$E (S_{n}) = (n + 1) E (X_{0}) = n + 1$ .
$Var (S_{n}) = (n + 1) Var (X_{0}) = n + 1$ par indépendance.

On applique maintenant le théorème de Slutsky : $\frac{S _{n} - n}{n} = ⟶ 1 \frac{n + 1}{n} ⟶ (d) N (0, 1) \frac{S _{n} - ( n + 1 )}{n + 1} + ⟶ 0 \frac{1}{n + 1} ⟶ (d) N (0, 1)$ Tout cela pour dire que, $\int_{0}^{1} g_{n} (x) d x = P (\frac{S _{n} - n}{n} \in [0, 1]) ⟶ \int_{0}^{1} \frac{e ^{- \frac{x ^{2}}{2}}}{2 π} d x$ De plus :

$\forall n \in N$ , $h_{n}$ est mesurable.
$\forall x \in R$ , $h_{n} (x) = \frac{e ^{- x^{2} φ (\frac{x}{n})}}{2 π} 1_{] - 1, + \infty [} (\frac{x}{n})$ où $\forall x > - 1$ , $φ (x) = \frac{x - l n ( 1 + x )}{x ^{2}}$ . Par développement limité, on a $lim_{x \to 0} φ (x) = \frac{1}{2}$ . Donc $\forall x \in R$ , $h_{n} (x) ⟶ \frac{e ^{- \frac{x ^{2}}{2}}}{2 π}$ .
Comme $\forall x > - 1$ , $φ (x) \geq 0$ , alors $h_{n}$ est dominée par $x \mapsto \frac{1}{2 π}$ .

Donc par le théorème de convergence dominée, $\int_{0}^{1} h_{n} (x) d x ⟶ \int_{0}^{1} \frac{e ^{- \frac{x ^{2}}{2}}}{2 π} d x$ Pour conclure, on écrit : $\int_{0}^{1} g_{n} (x) d x = a_{n} \int_{0}^{1} h_{n} (x) d x ⟹ n \to + \infty lim a_{n} = \frac{lim _{n \to + \infty} \int _{0}^{1} g _{n} ( x ) d x}{lim _{n \to + \infty} \int _{0}^{1} h _{n} ( x ) d x} = 1$ et comme $Γ (n + 1) = n!$ , par définition de $a_{n}$ : $1 = n \to + \infty lim a_{n} = n \to + \infty lim \frac{n ^{n + \frac{1}{2}} e ^{- n} 2 π}{n !}$ ◻