Formule sommatoire de Poisson

analysis

On démontre la formule sommatoire de Poisson en utilisant principalement la théorie des séries de Fourier.

Théorème 1 (Formule sommatoire de Poisson). Soit $f : R \to C$ une fonction de classe $C^{1}$ telle que $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ et $f^{'} (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ quand $∣ x ∣ ⟶ + \infty$ . Alors : $\forall x \in R, n \in Z \sum f (x + n) = n \in Z \sum f (2 πn) e^{2 iπn x}$ où $f$ désigne la transformée de Fourier de $f$ .

Démonstration. Comme $f (x) = O (\frac{1}{x ^{2}})$ , il existe $M > 0$ et $A > 0$ tel que $\forall∣ x ∣ > A, ∣ f (x) ∣ \leq \frac{M}{x ^{2}} (*)$ Soit $K > 0$ . On a $\forall x \in [- K, K]$ , $\forall n \in Z$ tel que $∣ n ∣ > K + A$ : $∣ f (x + n) ∣ \leq (*) \frac{M}{( x + n ) ^{2}} \leq \frac{M}{( ∣ n ∣ - ∣ x ∣ ) ^{2}} \leq \frac{M}{( ∣ n ∣ - K ) ^{2}}$ Donc $\sum_{n \in Z} f (x + n)$ converge normalement sur tout segment de $R$ donc converge simplement sur $R$ . On note $F$ la limite simple en question.

On montre de même que $\sum_{n \in Z} f^{'} (x + n)$ converge normalement sur tout segment de $R$ . Donc par le théorème de dérivation des suites de fonctions, $F$ est de classe $C^{1}$ sur tout segment de $R$ , donc sur $R$ tout entier (la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales).

Soit $x \in R$ . On a : $\forall N \in N, ⟹ N ⟶ + \infty n = - N \sum N f (x + 1 + n) = n = - N - 1 \sum N + 1 f (x + n) F (x + 1) = F (x)$ ie. $F$ est $1$ -périodique. On peut calculer ses coefficients de Fourier. $\forall n \in Z$ , $c_{n} (F) = \int_{0}^{1} F (t) e^{- 2 iπn t} d t = \int_{0}^{1} n = - \infty \sum + \infty f (t + n) e^{- 2 iπn t} d t$ Par convergence uniforme sur un segment, on peut échanger somme et intégrale : $c_{n} (F) = n = - \infty \sum + \infty \int_{n}^{n + 1} f (t) e^{- 2 iπn t} d t$ Or, la transformée de Fourier d’une fonction $L_{1}$ est convergente. On peut donc écrire : $c_{n} (F) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- 2 iπn t} d t = f (2 πn)$ Comme $F$ est de classe $C^{1}$ , sa série de Fourier converge uniformément vers $F$ . D’où le résultat. ◻

Application 2 (Identité de Jacobi). $\forall s > 0, n = - \infty \sum + \infty e^{- π n^{2} s} = \frac{1}{s} n = - \infty \sum + \infty e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$

Démonstration. Soit $α > 0$ . On définit $G_{α} : x \mapsto e^{- α x^{2}}$ et on connaît sa transformée de Fourier : $\forall ξ \in R, G_{α} (ξ) = \frac{π}{α} e^{- \frac{ξ ^{2}}{4 α}}$ Soit $s > 0$ . Appliquons le Théorème 1 à la fonction $G_{π s}$ : $⟹ x = 0 n \in Z \sum e^{- π s (x + n)^{2}} = \frac{1}{s} n \in Z \sum e^{- \frac{( 2 πn ) ^{2}}{4 π s}} e^{2 iπn x} n \in Z \sum e^{- π s n^{2}} = \frac{1}{s} n \in Z \sum e^{- \frac{π n ^{2}}{s}}$ ◻