Démonstration. Il suffit d’écrire $${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid {}^{t}M=M\}=f^{-1}\{0\}$$ où $f:M\mapsto {}^{t}M-M$ est continue, donc ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est fermé en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue. ◻

Démonstration. Soit $(x_n)$ une suite bornée d’un espace métrique $(E,d)$ qui n’admet qu’une seule valeur d’adhérence $\ell \in E$. On suppose par l’absurde que $(x_n)$ ne converge pas vers $\ell$ : $$\exists ϵ>0\text{ tel que }\forall N\in \mathbb{N},\exists n\ge N\text{ tel que }d(x_n,\ell )>ϵ\text{\hspace{1em}(∗)}$$ On va construire une sous-suite qui converge vers une valeur d’adhérence différente de $\ell$.

Par $(\ast )$ appliqué à $N=0$, $\exists n_0\ge 0$ tel que $d(x_{n_0},\ell )>ϵ$. On définit donc $\phi (0)=n_0$.

Supposons construite $\phi (i)$ jusqu’à un rang $k$ telle que $\forall i\le k$, $\phi (i+1)>\phi (i)$ (lorsque cela à un sens) et $d(x_{\phi (i)},\ell )>ϵ$. Il suffit alors d’appliquer $(\ast )$ à $N=\phi (n)+1$ pour obtenir un $n_k\ge \phi (n)+1>\phi (n)$ tel que $d(x_{n_k},\ell )>ϵ$ ; on définit alors $\phi (k+1)=n_k$.

Nous venons donc de construire par récurrence une application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante et telle que $\forall n\in \mathbb{N}$, $d(x_{\phi (n)},\ell )>ϵ$. La suite $(x_{\phi (n)})$ est bornée (par hypothèse) : elle est contenue dans un compact et admet une valeur d’adhérence ${\ell }^{\prime }$ (par le théorème de Bolzano-Weierstrass). Soit donc $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $(x_{(\phi \circ \psi )(n)})$ converge vers ${\ell }^{\prime }$.

On a $\forall n\in \mathbb{N}$, $d(x_{(\phi \circ \psi )(n)},\ell )>ϵ$, qui donne $d({\ell }^{\prime },\ell )\ge ϵ$ après un passage à la limite. Donc $\ell \ne {\ell }^{\prime }$. Et ${\ell }^{\prime }$ est clairement valeur d’adhérence de $(x_n)$ : absurde. ◻

Démonstration. D’après le théorème spectral, il existe $(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^n$ formée de vecteurs propres de $S$ associés aux valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ de $S$, qui sont réelles car $S$ est symétrique. Soit $x\in {\mathbb{R}}^n$ dont on note $(x_1,\dots ,x_n)$ ses coordonnées dans cette base. On a $$\Vert Sx{\Vert }_2^2={\Vert \sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i{e}_i\Vert }_2^2=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2{x}_i^2\le \rho (S{)}^2\Vert x{\Vert }_2^2$$ D’où $|||S||{|}_2\le \rho (S)$. Pour obtenir l’inégalité inverse, il suffit de considérer $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre de $S$ telle que $|\lambda |=\rho (S)$ et $x\in {\mathbb{R}}^n$ un vecteur propre associé à $\lambda$. On a alors $$\Vert Sx{\Vert }_2=|\lambda |\Vert x{\Vert }_2$$ et on a bien $\rho (S)\le |||S||{|}_2$. ◻

Démonstration. Montrer qu’une application est un homéomorphisme se fait en $4$ étapes : on montre qu’elle est continue, injective, surjective, et que la réciproque est elle aussi continue.

• L’application est bien définie et continue : Soit $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. D’après le théorème spectral, $$\exists P\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})\text{ telle que }S=P^{-1}\underset{=D}{\underbrace{\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)}}P$$ où ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ désignent les valeurs propres de $S$. On a donc $$\begin{array}{rl}\exp (S)& =P^{-1}\exp (D)P\\ & =P^{-1}\mathrm{Diag}(e^{{\lambda }_1},\dots ,e^{{\lambda }_n})P\end{array}$$ Or, $P^{-1}={}^{t}P$, donc ${}^t\exp (S)=\exp (S)$ et $\exp (S)\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. De plus, $\forall x\in {\mathbb{R}}^n$, $${}^{t}xSx={}^t(Px)D(Px)>0$$ car $D\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Donc $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Elle est de plus continue en tant que restriction de l’exponentielle définie sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (qui est la somme d’une série normalement convergente sur toute boule ouverte de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$).

• L’application est surjective : Soit $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. On peut écrire $$S=P\mathrm{Diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)P^{-1}$$ Il suffit alors de poser $U=P^{-1}\mathrm{Diag}(\ln ({\mu }_1),\dots ,\ln ({\mu }_n))P\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ pour avoir $\exp (U)=S$ ; d’où la surjectivité.

• L’application est injective : Soient $S,S^{\prime }\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ telles que $\exp (S)=\exp (S^{\prime })$. Montrons que $S=S^{\prime }$. Comme avant, $\exists P,P^{\prime }\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ telles que $$S=P\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{-1}\text{ et }{S}^{\prime }=P^{\prime }\mathrm{Diag}({\lambda }_1^{\prime },\dots ,{\lambda }_n^{\prime })P^{\prime -1}$$ Soit $L\in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall i\in [[1,n]]$, $L(e^{{\lambda }_i})={\lambda }_i$ et $L(e^{{\lambda }_i^{\prime }})={\lambda }_i^{\prime }$ (les polynômes d’interpolation de Lagrange conviennent parfaitement et sont bien définis dans le cas présent car $e^{{\lambda }_i}=e^{{\lambda }_j}⟹{\lambda }_i={\lambda }_j$ par injectivité de l’exponentielle). D’où $$\begin{array}{rl}L(\exp (S))& =L(P\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{-1})\\ & =PL(\exp (\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)))P^{-1}\\ & =P\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{-1}\\ & =S\end{array}$$ et de même, $L(\exp (S^{\prime }))=S^{\prime }$. D’où $S=S^{\prime }$ car on a supposé $\exp (S)=\exp (S^{\prime })$.

• L’application inverse est continue : Soit $(A_k)$ une suite de ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ qui converge vers $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Il s’agit de montrer que la suite $(B_k)$ de terme général $B_k={\exp }^{-1}(A_k)$ converge vers $B={\exp }^{-1}(A)$. Supposons tout d’abord $(B_k)$ non bornée. Comme sur ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, $|||.||{|}_2=\rho (.)$ (par le Lemme 3), il existe $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $\rho (B_{\phi (k)})⟶+\infty$. On peut donc extraire une suite de valeurs propres $({\lambda }_k)$ telle que $|{\lambda }_k|⟶+\infty$. Encore une fois, quitte à extraire, on peut supposer ${\lambda }_k⟶+\infty$ ou ${\lambda }_k⟶-\infty$.

  • Si ${\lambda }_k⟶+\infty$, $e^{{\lambda }_k}⟶+\infty$. Mais $\forall k\in \mathbb{N}$, $e^{{\lambda }_k}$ est valeur propre de $A_k$, donc $\rho (A_k)⟶+\infty$ : absurde car $(A_k)$ converge.

  • Si ${\lambda }_k⟶-\infty$, $e^{-{\lambda }_k}⟶+\infty$. Mais $\forall k\in \mathbb{N}$, $e^{-{\lambda }_k}$ est valeur propre de $A_k^{-1}$, donc $\rho (A_k^{-1})⟶+\infty$ : absurde car $(A_k^{-1})$ converge par continuité de $M\mapsto M^{-1}$.

  Donc la suite $(B_k)$ est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, $(B_k)$ admet une valeur d’adhérence $\widetilde{B_0}$. Comme ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est fermé (c’est le Lemme 1), $\widetilde{B_0}\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

  Soit $\tilde{B}\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ une valeur d’adhérence de $(B_k)$ et soit $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $B_{\phi (k)}⟶\tilde{B}$. Alors, $$\exp (B)=A⟵A_{\phi (k)}=\exp (B_{\phi (k)})⟶\exp (\tilde{B})$$ ie. $\exp (B)=\exp (\tilde{B})$ ; donc $B=\tilde{B}=\widetilde{B_0}$ par injectivité de $\exp$. Donc par le Lemme 2, $B_k⟶B$.

 ◻