est un homéomorphisme

est un homéomorphisme

algebra

Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices induit un homéomorphisme de sur .

Lemme 1. est un fermé de .

Démonstration. Il suffit d’écrire est continue, donc est fermé en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue. ◻

Lemme 2. Une suite bornée d’un espace métrique qui admet une seule valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence.

Démonstration. Soit une suite bornée d’un espace métrique qui n’admet qu’une seule valeur d’adhérence . On suppose par l’absurde que ne converge pas vers : On va construire une sous-suite qui converge vers une valeur d’adhérence différente de .

Par appliqué à , tel que . On définit donc .

Supposons construite jusqu’à un rang telle que , (lorsque cela à un sens) et . Il suffit alors d’appliquer à pour obtenir un tel que ; on définit alors .

Nous venons donc de construire par récurrence une application strictement croissante et telle que , . La suite est bornée (par hypothèse) : elle est contenue dans un compact et admet une valeur d’adhérence (par le théorème de Bolzano-Weierstrass). Soit donc strictement croissante telle que converge vers .

On a , , qui donne après un passage à la limite. Donc . Et est clairement valeur d’adhérence de : absurde. ◻

Lemme 3. Soit . Alors, est l’application qui a une matrice y associe son rayon spectral.

Démonstration. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormée de formée de vecteurs propres de associés aux valeurs propres de , qui sont réelles car est symétrique. Soit dont on note ses coordonnées dans cette base. On a D’où . Pour obtenir l’inégalité inverse, il suffit de considérer une valeur propre de telle que et un vecteur propre associé à . On a alors et on a bien . ◻

Théorème 4. L’application est un homéomorphisme.

Démonstration. Montrer qu’une application est un homéomorphisme se fait en étapes : on montre qu’elle est continue, injective, surjective, et que la réciproque est elle aussi continue.

  • L’application est bien définie et continue : Soit . D’après le théorème spectral, désignent les valeurs propres de . On a donc Or, , donc et . De plus, , car . Donc .

  • L’application est surjective : Soit . On peut écrire Il suffit alors de poser pour avoir ; d’où la surjectivité.

  • L’application est injective : Soient telles que . Montrons que . Comme avant, telles que Soit tel que , et (les polynômes d’interpolation de Lagrange conviennent parfaitement et sont bien définis dans le cas présent car par injectivité de l’exponentielle). D’où et de même, . D’où .

  • L’application inverse est continue : Soit une suite de qui converge vers . Il s’agit de montrer que la suite de terme général converge vers . Supposons tout d’abord non bornée. Comme sur , (par le Lemme 3), il existe strictement croissante telle que . On peut donc extraire une suite de valeurs propres telle que . Encore une fois, quitte à extraire, on peut supposer ou .

    • Si , . Mais , est valeur propre de , donc : absurde car converge.

    • Si , . Mais , est valeur propre de , donc : absurde car converge par continuité de .

    Donc la suite est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, admet une valeur d’adhérence . Comme est fermé (c’est le Lemme 1), .

    Soit strictement croissante telle que . Alors, ie. ; donc par injectivité de . Donc par le Lemme 2, .

 ◻