Intégrale de Dirichlet
Intégrale de Dirichlet
analysis
Il s’agit ici de calculer l’intégrale de Dirichlet en utilisant les théorèmes classiques d’intégration.
Lemme 1.
Démonstration. Soient . On a : Or, est un complexe de module et , donc . D’où le résultat. ◻
Théorème 2 (Intégrale de Dirichlet). On pose , alors :
est bien définie et est continue sur .
est dérivable sur et , .
.
Démonstration. Posons et , ainsi que , . On a :
, est mesurable.
Presque partout en , est continue.
et presque partout en , , et est intégrable sur .
On peut donc appliquer le théorème de continuité sous l’intégrale pour conclure que est continue sur .
Soient et . On a : Nous allons réaliser une intégration par parties. Pour cela, posons :
Ce qui nous donne : On applique maintenant le Lemme 1 : D’où : Donc la suite de fonctions continues vérifie le critère de Cauchy uniforme, et converge ainsi vers uniformément. En particulier, est continue sur .
Soit . est dérivable par rapport à et pour tout et : On applique le théorème de dérivation sous l’intégrale, qui donne : En particulier, c’est vrai sur car la dérivabilité est une propriété locale. Or , on a : Or, En recollant les deux morceaux : Soient . En intégrant entre et , on obtient : Mais, Il suffit donc de faire tendre vers pour obtenir : Ce qui, en faisant tendre vers , donne : ◻