Démonstration. On définit l’application $$\phi :\begin{array}{ccc}{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})& \to & {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\\ M& \mapsto & {}^{t}M{A}_{0}M\end{array}$$ qui est une application polynômiale en les coefficients de $M$, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$. Soit $H\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On calcule : $$\begin{array}{rl}\phi (I_n+H)-\phi (I_n)& ={}^{t}H{A}_0+A_{0}H+{}^{t}H{A}_0+H\\ & ={}^t(A_{0}H)+A_{0}H+o(\Vert H{\Vert }^2)\end{array}$$ où ($\Vert .\Vert$ désigne une quelconque norme d’algèbre sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$). Ainsi, on a $\mathrm{d}{\phi }_{I_n}(H)={}^t(A_{0}H)+A_{0}H$. D’où $$\mathrm{Ker}(\mathrm{d}{\phi }_{I_n})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid A_{0}M\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})\}=A_0^{-1}{\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$$ On définit donc $$F=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid A_{0}M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\}=A_0^{-1}{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$$ et on a ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})=F\oplus \mathrm{Ker}(\mathrm{d}{\phi }_{I_n})$. Ainsi, la différentielle $\mathrm{d}({\phi }_{|F}{)}_{I_n}$ est bijective (car $\mathrm{Ker}(\mathrm{d}({\phi }_{|F}{)}_{I_n})=\mathrm{Ker}(\mathrm{d}{\phi }_{I_n})\cap F=\{0\}$).

On peut donc appliquer le théorème d’inversion locale à ${\phi }_{|F}$ : il existe $U$ un voisinage ouvert de $I_n$ dans $F$ tel que $({\phi }_{|U})$ soit ${\mathcal{C}}^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V=\phi (U)$. De plus, on peut supposer $U\subseteq {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ (quitte à considérer $U\cap U^{\prime }$ où $U^{\prime }$ est un voisinage ouvert de $I_n$ dans ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ ; qui existe par continuité de $\det$).

Ainsi, $V$ est un voisinage ouvert de $A_0=\phi (I_n)$ dans ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant : $$\forall A\in V,A={}^t({\phi }_{|U}{)}^{-1}(A)A_0({\phi }_{|U}{)}^{-1}(A)$$ Il suffit alors de poser $\psi =({\phi }_{|U}{)}^{-1}$ (qui est bien une application de classe ${\mathcal{C}}^1$) pour avoir le résultat demandé. ◻

Démonstration. On écrit la formule de Taylor à l’ordre $1$ avec reste intégral au voisinage de $0$, qui donne : $$\begin{array}{rl}& f(x)=f(0)+\mathrm{d}{f}_0(x)+{\int }_0^1(1-t){\mathrm{d}}^2{f}_{tx}(x,x)\mathrm{d}t\\ ⟺& f(x)-f(0)={}^{t}xQ(x)x\end{array}\text{\hspace{1em}(∗)}$$ où $Q(x)$ est la matrice symétrique définie par $Q(x)={\int }_0^1(1-t)\mathrm{Hess}{f}_{tx}\mathrm{d}t$ (qui est une application ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ car $f$ est ${\mathcal{C}}^3$ sur $U$).

Par hypothèse, $Q(0)=\frac{\mathrm{Hess}(f{)}_0}{2}$ est une matrice symétrique inversible, donc en vertu du Lemme 2, il existe un voisinage $V_1$ de $Q(0)$ dans ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et une application $\psi :V_1\to {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ tels que : $$\forall A\in V_1,A={}^t\psi (A)Q(0)\psi (A)$$ Mais, l’application $x\mapsto Q(x)$ est continue sur $U$ (puisque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^3$ sur $U$), donc il existe $V_2$ voisinage de $0$ dans $U$ tel que $\forall x\in V_2$, $Q(x)\in V_1$. On peut donc définir l’application $M=\psi \circ Q_{|V_2}$, qui nous permet d’écrire $$\forall x\in V_2,Q(x)={}^{t}M(x)Q(0)M(x)\text{\hspace{1em}(∗∗)}$$ Or, $Q(0)$ est de signature $(p,n-p)$, donc d’après la loi d’inertie de Sylvester, il existe $P\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ telle que $$Q(0)={}^{t}P\underset{=D}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}{I}_p& \\ & -I_{n-p}\end{array}\right)}}P\text{\hspace{1em}(∗∗∗)}$$ Finalement en combinant $(\ast )$ avec $(\ast \ast )$ et $(\ast \ast \ast )$, cela donne $$\begin{array}{rl}& \forall x\in V_2,f(x)-f(0)={}^t(PM(x)x)D(PM(x)x)\\ \stackrel{\phi (x)=PM(x)x}{⟺}& \forall x\in V_2,f(x)-f(0)={}^t\phi (x)D\phi (x)\end{array}$$ ce qui est bien l’expression voulue.

Il reste à montrer que $\phi$ définit bien un difféomorphisme de classe ${\mathcal{C}}^1$ entre deux voisinages de l’origine. Notons déjà que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ car $M$ l’est. Calculons la différentielle en $0$ de $\phi$. Soit $h\in V_2$ ; $$\begin{array}{rl}\phi (h)-\phi (0)& =PM(h)h\\ & =P(M(0)+\mathrm{d}{M}_0(h)+o(\Vert h\Vert ))h\\ & =PM(0)h+o(\Vert h\Vert )\end{array}$$ d’où $\mathrm{d}{\phi }_0(h)=PM(0)h$. Or, $PM(0)$ est inversible, donc en particulier, $\mathrm{d}{\phi }_0$ l’est aussi. On peut appliquer le théorème d’inversion locale à $\phi$, qui donne l’existence de deux ouverts $V$ et $W$ contenant l’origine (car $\phi (0)=0$) tel que $\varphi ={\phi }_{|V}$ soit un ${\mathcal{C}}^1$-difféomorphisme de $V$ sur $W$. ◻

Démonstration. Une équation cartésienne de $P$ est donnée par $$z-0=f(0)+\mathrm{d}{f}_0(x,y)$$ La différence d’altitude entre la surface $S$ et le plan tangent $P$ au point $h\in {\mathbb{R}}^2$ est donc donnée par $$\delta (h)=f(h)-(f(0)+\mathrm{d}{f}_0(h))$$ et le Lemme 3 permet d’écrire $$\delta (h)=\alpha {\varphi }_1(h{)}^2+\beta {\varphi }_2(h{)}^2$$ où $(\alpha ,\beta )$ désigne la signature de ${\mathrm{d}}^2{f}_0$ et $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2)$ est un ${\mathcal{C}}^1$-difféomorphisme entre deux voisinages de l’origine dans ${\mathbb{R}}^2$. En particulier, ${\varphi }_1$ et ${\varphi }_2$ ne s’annulent simultanément qu’en $0$.

1. Si ${\mathrm{d}}^2{f}_a$ est de signature $(2,0)$, on a $\delta (h)>0$ pour $h$ voisin de $0$ et $h\ne 0$.

2. Si ${\mathrm{d}}^2{f}_a$ est de signature $(0,2)$, on a $\delta (h)<0$ pour $h$ voisin de $0$ et $h\ne 0$.

3. Si ${\mathrm{d}}^2{f}_a$ est de signature $(1,1)$, on a $\delta (h)={\varphi }_1(h{)}^2-{\varphi }_2(h{)}^2$ et $S$ traverse $P$ selon une courbe admettant un point double en $(0,f(0))$.

 ◻