Loi d’inertie de Sylvester

Loi d’inertie de Sylvester

algebra

Le but de ce développement est de montrer la très connue loi d’inertie de Sylvester qui donne l’existence (et une forme d’unicité) de la décomposition d’une forme quadratique réelle en carrés de formes linéaires indépendantes.

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie . Soit une forme quadratique sur .

Notation 1.

  • On note la forme polaire associée à .

  • Si est une partie de , on note son orthogonal (ie. ).

Lemme 2. Il existe une base de qui soit -orthogonale.

Démonstration. On procède par récurrence sur .

  • Si : il n’y a rien à montrer, tout base est -orthogonale.

  • On suppose le résultat vrai à un rang et montrons le au rang . Si , alors tout base de est -orthogonale. Sinon, il existe tel que . Dans ce cas, l’application est une forme linéaire non nulle sur .

    est un hyperplan de et comme , on a . Or, , donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à , et on obtient une base de qui est -orthogonale. En particulier, est une base -orthogonale de .

 ◻

Théorème 3 (Loi d’inertie de Sylvester). où les formes linéaires sont linéairement indépendantes et où . De plus, ces entiers ne dépendent que de et pas de la décomposition choisie.

Le couple est la signature de et le rang est égal à .

Démonstration. Soit une base -orthogonale (dont l’existence est assurée par le Lemme 2). En posant , , on a Chaque est strictement positif, strictement négatif, ou nul. Quitte à les réordonner, on peut supposer Pour , on peut écrire et pour , on peut écrire où les . On définit : Ainsi définies, les formes linéaires sont linéairement indépendantes et on obtient bien : Reste maintenant à montrer l’indépendance de et de vis-à-vis de la décomposition choisie. Soit donc une autre écriture en carrés de formes linéaires indépendantes. Supposons avec par exemple . Complétons en une base de . Donc, la famille est de cardinal . Elle ne peut donc pas former une base de . Donc Par conséquent, Donc par . Supposons par l’absurde que Comme est une base de et que s’annule sur cette base, on a : c’est absurde. Donc, il existe tel que . En particulier par : contradiction. Ainsi, . On montre de même que .

Dans la base -orthogonale , la matrice de est d’où le rang de . ◻

Remarque 4. La preuve du Gourdon est un peu décousue. Il faut savoir recoller les morceaux pour bien montrer existence et unicité de la décomposition.