Nombres de Bell

Nombres de Bell

algebra, analysis

En utilisant les propriétés des séries entières, nous calculons le nombre de partitions de l’ensemble .

Théorème 1 (Nombres de Bell). Pour tout , on note le nombre de partitions de . Par convention on pose . Alors,

Démonstration. Notons que clairement . Soit , exprimons en fonction des termes précédents. Pour tout , on note l’ensemble des partitions de tel que la partie de qui contient l’entier est de taille . Choisir dans , c’est choisir entiers de (ceux de la partition de qui contient ), puis construire une partition des éléments restants. Donc .

Comme forment une partition de l’ensemble des partitions de , on obtient :

À toute partition de , on peut associer une permutation , qui est le produit des cycles de chaque partition de . On construit ainsi une application injective. D’où : On en déduit en particulier que . En vertu du lemme d’Abel, le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à . On peut donc définir et en dérivant, : On reconnaît là le produit de Cauchy suivant : Reste à résoudre cette équation différentielle linéaire homogène d’ordre : Or, . D’où .

La série entière définissant l’exponentielle a un rayon de convergence infini. On peut donc écrire, pour tout : On va appliquer le théorème de Fubini-Lebesgue à (où est fixé) : Donc on peut intervertir les signes de sommations. Pour tout , Par unicité du développement en série entière d’une fonction, on en déduit, par identification des coefficients :  ◻

Remarque 2. La partie sur le dénombrement (au début de la preuve) est un peu technique. N’hésitez pas à passer du temps dessus et à y réfléchir en faisant des exemples.