Projection sur un convexe fermé

Projection sur un convexe fermé

analysis

On montre le théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert réel en utilisant les suites de Cauchy et des propriétés du produit scalaire.

Soit un espace de Hilbert réel de norme et dont on note le produit scalaire associé.

Lemme 1 (Identité du parallélogramme). Soient . Alors :

Démonstration. D’une part, D’autre part, En additionnant les deux lignes, on obtient bien l’égalité voulue. ◻

Remarque 2. L’interprétation géométrique de cette égalité est que dans le parallélogramme formé par les vecteurs et , la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés.

tikzpicture-1

Théorème 3 (Projection sur un convexe fermé). Soit un convexe fermé non-vide. Alors : On peut donc noter , le projeté orthogonal de sur . Il s’agit de l’unique point de vérifiant

tikzpicture-2

Démonstration. Soit . Posons . Par la caractérisation séquentielle de la borne inférieure, il existe une suite de telle que . Montrons que est une suite de Cauchy. On applique le Lemme 1 : Or, est convexe. Donc , . Par définition, Par , quand : Ainsi est une suite de Cauchy de qui est complet, donc converge vers . Mais, est fermé et est une suite de , donc .

Montrons maintenant que est unique. Soit tel que . On définit la suite par Cette suite vérifie , donc en particulier , et on peut tout-à-fait refaire le raisonnement précédent pour montrer que converge (vers , donc). Ainsi, on a bien existence et unicité du projeté.

Soit vérifiant . Montrons que . , ie. . De plus, , donc . D’où .

Montrons maintenant que vérifie bien . Et , on a Or, en développant : D’où, Soit maintenant . On va appliquer à pour : ce que l’on voulait. ◻

Remarque 4. traduit le fait géométrique que l’angle du vecteur avec est obtus pour tout . En effet, en notant cet angle , on a pour : et si est obtus, on a bien .

Corollaire 5. Soit un sous-espace vectoriel fermé de . Alors .

Démonstration. Si , alors , et donc . Montrons maintenant que . Soit . Comme est un convexe fermé de (en tant que sous-espace vectoriel fermé), on peut appliquer le Théorème 3. Ainsi, il existe un unique tel que et Soit . on peut appliquer à : On va également appliquer à : Ce qui montre que l’inégalité de est en fait une égalité. On en tire : donc . En conclusion, on a : et on a donc bien la somme directe . ◻