Simplicité de pour

Simplicité de pour

algebra

On montre que est simple pour en montrant dans un premier temps le cas , puis en s’y ramenant.

Lemme 1. Les -cycles sont conjugués dans pour .

Démonstration. Soient et deux -cycles. Soit telle que On a deux possibilités pour :

  • est paire. Alors , et le résultat est démontré pour et .

  • est impaire. Comme , il existe tels que . On pose alors , et on a avec paire. Le résultat est encore démontré pour et .

 ◻

Lemme 2. Le produit de deux transpositions est un produit de -cycles.

Démonstration. Soient et deux transpositions. Si , alors désigne n’importe quel -cycle.

Si , on a deux possibilités :

  • Leur support comporte un élément commun : . Donc et avec distincts. Donc .

  • Leur support n’a pas d’élément commun. Dans ce cas sont distincts et .

 ◻

Lemme 3. est engendré par les -cycles pour .

Démonstration. Soit . Comme est paire, on peut la décomposer en un produit d’un nombre pair de transpositions : Par le Lemme 1, chaque produit peut s’écrire comme un produit de -cycles. Donc est bien un produit de -cycles. ◻

Lemme 4. est simple.

Démonstration. Commençons par décrire les types possibles des permutations de (le type d’une permutation désigne les cardinaux des supports des cycles apparaissant dans sa décomposition en cycles disjoints).

Type de permutation Nombre de permutations

Montrons que les permutations de type sont conjuguées dans . Soient et deux permutations de type . Il suffit de prendre telle que , et pour avoir .

Soit tel que . Montrons que .

  • Si contient une permutation de type , alors par le Lemme 2, le Lemme 1, il les contient toutes.

  • Si contient une permutation de type , alors par le Lemme 1, il les contient toutes.

  • Si contient une permutation de type , , il contient alors le commutateur qui est un -cycle. Par le Lemme 1, il les contient tous.

Or, ne peut pas vérifier qu’un seul des points précédents en vertu du théorème de Lagrange, car ni , ni ne divisent . Donc vérifie au moins deux des points précédents, et ainsi . Donc et . ◻

Si les théorèmes de Sylow sont mentionnés dans le plan, il est préférable de mentionner l’argument suivant.

Remarque 5. Dans le raisonnement précédent, si contient une permutation de type (qui est donc d’ordre ), alors contient le -Sylow engendré par cet élément. Or, on sait par les théorèmes de Sylow que les sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux. Donc contient tous les -Sylow et donc contient tous les éléments d’ordre .

Théorème 6. est simple pour .

Démonstration. Soit tel que . L’idée générale de la démonstration et de se ramener au cas à l’aide d’une permutation bien spécifique.

Soit , il existe donc tel que . Soit différent de , et . On pose (on a . Soit . Par calcul : Notons bien que (en tant que produit de -cycles, car ). Or, car est distingué et aussi car est un groupe, donc .

Notons . Comme , . Quitte à rajouter, au besoin, des éléments à , on peut supposer que . On pose le sous-groupe de contenant les éléments qui laissent fixes . Si on pose , on a une bijection entre et : Donc et sont deux groupes isomorphes (en effet, une permutation n’agissant que sur peut s’identifier à une permutation n’agissant que sur ). De plus, par le Lemme 4, comme est simple, l’est aussi.

Soit . , en effet, soient et :

  • car est un groupe.

  • car .

En particulier, est distingué dans qui est simple. De plus, (car et donc et par 1., ). Donc , et ainsi . On en déduit : Finalement, est un -cycle qui n’agit que sur , donc et par , . Or, est un -cycle et les -cycles sont conjugués dans (par le Lemme 1) donc contient tous les -cycles. Et comme ceux-ci engendrent (par le Lemme 3), on a . ◻