Démonstration. On définit $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& \dots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& \dots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1& a_2& \dots & a_0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})\text{ et }\Omega =({\omega }^{(i-1)(j-1)}{)}_{i,j\in [[1,n]]}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$$ Pour $i\ge 2$, la $i$-ième ligne de $A$ est $$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{n-i+1}& \dots & a_{n-1}& a_0& \dots & a_{n-i-2}\end{array}\right)$$ Si on multiplie cette ligne par la $j$-ième colonne de $\Omega$, on obtient le coefficient $$\begin{array}{rl}& a_{n-i+1}+a_{n-i+2}{\omega }^{j-1}+\cdots +a_0{\omega }^{(j-1)(i-1)}+a_1{\omega }^{(j-1)i}+\cdots +a_{n-i-2}{\omega }^{(j-1)(n-1)}\\ =& {\omega }^{(j-1)(i-1)}(a_0+a_1{\omega }^{j-1}+\cdots +a_{n-1}{\omega }^{(j-1)(n-1)})\\ =& {\omega }^{(j-1)(i-1)}P({\omega }^{j-1})\end{array}$$ et c’est encore vrai pour $i=1$ puisque ${\omega }^0=1$. Donc la $j$-ième colonne de $A\Omega$ est égale à la $j$-ième colonne de $\Omega$ multipliée par $P({\omega }^{j-1})$. Ceci entraîne que $$\det (A)\det (\Omega )=\det (A\Omega )=P(1)P(\omega )\dots P({\omega }^{n-1})\det (\Omega )$$ et le déterminant $\det (\Omega )$ est non nul (en tant que déterminant de Vandermonde à paramètres deux-à-deux distincts). D’où : $$\det (A)=P(1)P(\omega )\dots P({\omega }^{n-1})$$ ◻

Démonstration. On identifie $P_k$ au vecteur colonne $Z_k=\left(\begin{array}{c}{z}_{k,1}\\ ⋮\\ z_{k,n}\end{array}\right)\in {\mathbb{C}}^n$. Il s’agit de montrer que la suite $(Z_k)$ converge vers $\left(\begin{array}{c}g\\ ⋮\\ g\end{array}\right)$ où $g$ désigne l’isobarycentre de $P_0$.

En utilisant la notation matricielle, la relation de récurrence s’écrit $$\forall k\in \mathbb{N},Z_{k+1}=\left(\begin{array}{c}\frac{z_{k,1}+z_{k,2}}{2}\\ ⋮\\ \frac{z_{k,n}+z_{k,1}}{2}\end{array}\right)=A{Z}_k\text{ ouˋ }A=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& \dots & 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \dots & 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$ Par une récurrence immédiate (c’est une suite géométrique), on a donc $\forall k\in \mathbb{N}$, $Z_k=A^k{Z}_0$. Il suffit donc de montrer que $(A^k)$ converge dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ (muni d’une norme quelconque par équivalence des normes en dimension finie).

Pour cela, étudions les valeurs propres de $A$ : $${\chi }_A=\det (A-X{I}_n)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& \dots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& \dots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1& a_2& \dots & a_0\end{array}\right|$$ avec $a_0=\frac{1}{2}-X$, $a_1=\frac{1}{2}$ et $\forall i>2,a_i=0$. On reconnaît le déterminant circulant du Lemme 1 et en posant $P(Y)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{Y}^k$ et $\omega =e^{\frac{2i\pi }{n}}$, la formule du déterminant circulant nous donne : $${\chi }_A=\prod _{j=1}^{n}P({\omega }^j)=\prod _{j=1}^n\left(\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{\omega }^{kj}\right)=\prod _{j=1}^n\left(\frac{1}{2}-X+\frac{1}{2}{\omega }^j\right)=\prod _{j=1}^n({\lambda }_j-X)$$ où ${\lambda }_j=\frac{1+{\omega }^j}{2}$. Et comme ${\lambda }_i={\lambda }_j⟺i=j$, le polynôme ${\chi }_A$ est scindé à racines simples. Donc $\exists Q\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ telle que $A=QD{Q}^{-1}$ et $D=\mathrm{Diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$. Or pour $j\ne n$, $$|{\lambda }_j|=\left|\frac{1+{\omega }^j}{2}\right|=\left|e^{\frac{ij\pi }{n}}\frac{e^{\frac{ij\pi }{n}}+e^{-\frac{ij\pi }{n}}}{2}\right|=\left|\cos \left(\frac{\pi j}{n}\right)\right|<1$$ Ainsi, ${\lambda }_j^k⟶0$ si $j<n$, donc la suite $(A^k)$ converge dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ vers la matrice $B=Q\mathrm{Diag}(0,\dots ,0,1)Q^{-1}$ par continuité de l’application $M\mapsto QM{Q}^{-1}$.

On pose donc $X=B{Z}_0$, de sorte que la suite $(Z_k)$ converge vers $X$. Par continuité de $M\mapsto AM$, la limite $X$ vérifie forcément $X=AX$ ie. $X$ est vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$. Or l’espace propre de $A$ associé à la valeur propre $1$ contient le vecteur $\left(\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$ et est de dimension $1$ (car ${\chi }_A$ possède $n$ racines distinctes), donc il est engendré par ce vecteur. Ainsi, il existe $a\in \mathbb{C}$ tel que $X=\left(\begin{array}{c}a\\ ⋮\\ a\end{array}\right)$ ie. $(Z_k)$ converge vers le point d’affixe $a$.

Enfin, on remarque que si $g$ est l’isobarycentre de $P_0$, il est aussi égal à celui de $P_k$ pour tout $k$ (que l’on note $g_k$) car pour tout $k\ge 1$ : $$g_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{z}_{k,i}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{z_{k-1,i}+z_{k-1,i+1}}{2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{z}_{k-1,i}=g_{k-1}$$ (en considérant les indices $i$ modulo $n$). Or, la suite $(Z_k)$ converge vers $\left(\begin{array}{c}a\\ ⋮\\ a\end{array}\right)$, et la fonction $\phi$ qui à $n$ points du plan associe son isobarycentre est continue. Donc, $$g_k=\phi (Z_k)⟶\phi (a,\dots ,a)=a$$ et comme pour tout $k$, $g_k=g$, on a bien $g=a$. ◻