Suite de polygones

Suite de polygones

algebra, analysis

Il s’agit ici d’étudier une suite de polygones à l’aide de déterminants classiques, et de montrer qu’elle converge vers l’isobarycentre du polygone de départ.

Lemme 1 (Déterminant circulant). Soient et . On pose . Alors .

Démonstration. On définit Pour , la -ième ligne de est Si on multiplie cette ligne par la -ième colonne de , on obtient le coefficient et c’est encore vrai pour puisque . Donc la -ième colonne de est égale à la -ième colonne de multipliée par . Ceci entraîne que et le déterminant est non nul (en tant que déterminant de Vandermonde à paramètres deux-à-deux distincts). D’où :  ◻

Théorème 2 (Suite de polygones). Soit un polygone dont les sommets sont . On définit la suite de polygones par récurrence en disant que, pour tout , les sommets de sont les milieux des arêtes de .

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Alors la suite converge vers l’isobarycentre de .

Démonstration. On identifie au vecteur colonne . Il s’agit de montrer que la suite converge vers désigne l’isobarycentre de .

En utilisant la notation matricielle, la relation de récurrence s’écrit Par une récurrence immédiate (c’est une suite géométrique), on a donc , . Il suffit donc de montrer que converge dans (muni d’une norme quelconque par équivalence des normes en dimension finie).

Pour cela, étudions les valeurs propres de : avec , et . On reconnaît le déterminant circulant du Lemme 1 et en posant et , la formule du déterminant circulant nous donne : . Et comme , le polynôme est scindé à racines simples. Donc telle que et . Or pour , Ainsi, si , donc la suite converge dans vers la matrice par continuité de l’application .

On pose donc , de sorte que la suite converge vers . Par continuité de , la limite vérifie forcément ie. est vecteur propre de associé à la valeur propre . Or l’espace propre de associé à la valeur propre contient le vecteur et est de dimension (car possède racines distinctes), donc il est engendré par ce vecteur. Ainsi, il existe tel que ie. converge vers le point d’affixe .

Enfin, on remarque que si est l’isobarycentre de , il est aussi égal à celui de pour tout (que l’on note ) car pour tout : (en considérant les indices modulo ). Or, la suite converge vers , et la fonction qui à points du plan associe son isobarycentre est continue. Donc, et comme pour tout , , on a bien . ◻