Démonstration. D’après le théorème de Cayley-Hamilton, ${\chi }_M(M)=0$. Or, en notant ${\chi }_M={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$, on a $a_0=(-1{)}^n\det (M)$, d’où $$0=M^n+\cdots +a_{1}M+(-1{)}^n\det (M)I_n$$ En notant $Q=X^{n-1}+a_{n-1}{X}^{n-2}+\cdots +a_{2}X+a_1$, on en déduit que $(-1{)}^{n+1}\det (M)I_n=Q(M)M$. D’où $$M^{-1}=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\det (M)}Q(M)\in \mathbb{C}[M]$$ ce qu’il fallait démontrer. ◻

Démonstration. $M$ et $-M$ commutent, donc $$\exp (M)\exp (-M)=\exp (M-M)=I_n=\exp (-M)\exp (M)$$ Ainsi $\exp (M)$ est inversible, d’inverse $\exp (-M)$. ◻

Démonstration.

• $I_n\in \mathbb{C}[C]$ et $I_n\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$, donc $I_n\in \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$.

• Soit $M\in \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$. Comme $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$, $M^{-1}$ existe, est inversible, et, par le Lemme 1, $M^{-1}\in \mathbb{C}[C]$.

• Enfin, $\mathbb{C}[C{]}^{\ast }$ est clairement stable par multiplication.

 ◻

Démonstration. Soit $H\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. $$\begin{array}{rl}\exp (0+H)-\exp (H)& =\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{H^k}{k!}\\ & =I_n+H+\sum _{k=2}^{+\infty }\frac{H^k}{k!}\end{array}$$ Soit $\Vert .\Vert$ une norme d’algèbre sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. On a : $$\begin{array}{rl}\Vert \sum _{k=2}^{+\infty }\frac{H^k}{k!}\Vert & \le \sum _{k=2}^{+\infty }\Vert \frac{H^k}{k!}\Vert \\ & \le \sum _{k=2}^{+\infty }\frac{\Vert H{\Vert }^k}{k!}\\ & =e^{\Vert H\Vert }-\Vert H\Vert -1\end{array}$$ En effectuant un développement limité de l’exponentielle réelle à l’origine, on obtient bien $\Vert {\sum }_{k=2}^{+\infty }\frac{H^k}{k!}\Vert =o(\Vert H\Vert )$. ◻

Démonstration. Fixons $C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ pour le reste de la démonstration. Comme $\mathbb{C}[C]$ est un sous-espace vectoriel de l’espace ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, il est de dimension finie et est donc fermé. En particulier, $\exp (C)\in \mathbb{C}[C]$. Le Lemme 2 combiné au Lemme 4, nous dit que $\exp :\mathbb{C}[C]\to \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$ est bien définie. Il s’agit de plus d’un morphisme de groupes. En effet, $\forall A,B\in \mathbb{C}[C]$, on a $AB=BA$, d’où $\exp (A)\exp (B)=\exp (A+B)=\exp (B)\exp (A)$.

Montrons que $\mathbb{C}[C{]}^{\ast }$ est un ouvert connexe de $\mathbb{C}[C]$. Notons qu’il s’agit bien d’un ouvert de $\mathbb{C}[C]$, car c’est l’intersection de $\mathbb{C}[C]$ avec ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ qui est ouvert dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Ensuite, soient $A,B\in \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$. On pose $$P=\det ((1-X)A+XB)$$ $P$ ne s’annule ni en $0$, ni en $1$ par inversibilité de $A$ et $B$. $P$ a un nombre fini de racines car n’est pas nul : on peut trouver une fonction continue $\gamma :[0,1]\to \mathbb{C}$ qui évite ces racines. Ainsi, $$\forall t\in [0,1],(1-\gamma (t))A+\gamma (t)B\in \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$$ donc $\mathbb{C}[C{]}^{\ast }$ est connexe par arcs, donc est en particulier connexe.

Il s’agit maintenant de montrer que $\exp (\mathbb{C}[C])$ est un ouvert-fermé de $\mathbb{C}[C{]}^{\ast }$. Commençons par montrer qu’il est ouvert en montrant qu’il contient un voisinage de chacun de ses points. Par le théorème d’inversion locale appliqué à $\exp :\mathbb{C}[C]\to \mathbb{C}[C]$ (qui est bien ${\mathcal{C}}^1$ sur l’espace de Banach $\mathbb{C}[C]$ et, par le Lemme 5, $\det (\mathrm{d}{\exp }_0)\ne 0$) : il existe $U$ un voisinage de $0$ dans $\mathbb{C}(C)$ et un ouvert $V$ de $\mathbb{C}(C)$ contenant $\exp (0)=I_n$ tels que $\exp :U\to V$ soit un difféomorphisme de classe ${\mathcal{C}}^1$. Soit $A\in \mathbb{C}[C]$. Posons $$f_A:\begin{array}{ccc}\mathbb{C}[C]& \to & \mathbb{C}[C]\\ M& \mapsto & \exp (A{)}^{-1}M\end{array}$$ et montrons que $\exp (A)V=f^{-1}(V)$. Pour tout $B\in V$, $f_A(\exp (A)B)=\exp (A{)}^{-1}(\exp (A)B)=B\in V$, donc $\exp (A)V\subseteq f^{-1}(V)$.

Soit $B\in f^{-1}(V)$, alors $f_A(B)\in V$. Or, $f_A(B)=\exp (A{)}^{-1}B$, donc $B=\exp (A)f_A(B)\in \exp (A)V$. On en déduit que $\exp (A)V=f^{-1}(V)$ et que $\exp (A)V$ est un ouvert par continuité de $f$.

Comme $V$ contient $I_n$, $\exp (A)V$ est un voisinage de $\exp (A)$. Or, $\exp (A)V$ est inclus dans $\mathbb{C}[C]$ car pour tout $B\in V$, il existe $M\in \mathbb{C}[C]$ tel que $\exp (M)=B$. Ainsi, $$\exp (A)B=\exp (A)\exp (M)=\exp (A+M)\in \exp (\mathbb{C}[C])$$ On en déduit que $\exp (\mathbb{C}[C])$ est un ouvert.

Posons maintenant $O=\mathbb{C}[C{]}^{\ast }\setminus \exp (\mathbb{C}[C])$ et montrons que $$O=\bigcup _{A\in O}A\exp (\mathbb{C}[C])\text{\hspace{1em}(∗)}$$ Soient $A\in O$ et $B\in \exp (\mathbb{C}[C])$. Alors $AB\in \mathbb{C}[C{]}^{\ast }$. Supposons par l’absurde que $AB\in \exp (\mathbb{C}[C])$. Il existe donc $M\in \exp (\mathbb{C}[C])$ tel que $AB=M$ et $A=M{B}^{-1}$. Comme $\exp (\mathbb{C}[C])$ est un groupe multiplicatif, alors $A\in \exp (\mathbb{C}[C])$ : absurde. On conclut que $$\bigcup _{A\in O}A\exp (\mathbb{C}[C])\subseteq O$$ Réciproquement, supposons que $M\in O$. Comme $I_n\in \exp (\mathbb{C}[C])$, alors $M\in M\exp (\mathbb{C}[C])$. On en déduit $(\ast )$, ainsi que la fermeture de $\exp (\mathbb{C}[M])$ par passage au complémentaire.

$\exp (\mathbb{C}[M])$ est un ouvert fermé non vide (car contient $I_n$) de $\mathbb{C}[M{]}^{\ast }$, alors $\exp (\mathbb{C}[M])=\mathbb{C}[M{]}^{\ast }$. Pour conclure, si $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$, alors $M\in \mathbb{C}[M]$ et donc $M\in \mathbb{C}[M{]}^{\ast }$. Ainsi, $M\in \exp (\mathbb{C}[M])$, et $\exp$ est bien surjective. ◻

Démonstration. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Alors, $$\exp (M)=\exp {\left(\frac{M}{2}\right)}^2$$ d’où $\exp ({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))\subseteq {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R}{)}^2$. Réciproquement, soit $A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R}{)}^2$. Posons $B=A^2$. D’après le Théorème 6, $$\exists P\in \mathbb{C}[X]\text{ telle que }A=\exp (P(A))$$ Comme $A$ est une matrice réelle, alors en passant au conjugué, on obtient $A=\exp (\overline{P}(A))$. Ainsi, $$B=A^2=\exp ((P+\overline{P})(A))\in \exp ({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))$$ d’où ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R}{)}^2\subseteq \exp ({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))$. ◻