est surjective

est surjective

algebra

Dans ce développement, on démontre que l’exponentielle de matrices est surjective en utilisant des théorèmes d’analyse.

Lemme 1. Soit . Alors (ie. est un polynôme en ).

Démonstration. D’après le théorème de Cayley-Hamilton, . Or, en notant , on a , d’où En notant , on en déduit que . D’où ce qu’il fallait démonter. ◻

Lemme 2. Soit . Alors, .

Démonstration. et commutent, donc Ainsi est inversible, d’inverse . ◻

Lemme 3. est différentiable en et,

Démonstration. Soit . Soit une norme d’algèbre sur . On a : Donc, ce qui donne le résultat annoncé. ◻

Théorème 4. est surjective.

Démonstration. Fixons pour le reste de la démonstration. Comme est un sous-espace vectoriel de l’espace , il est de dimension finie et est donc fermé. En particulier, .

Posons , et montrons que c’est un sous-groupe de .

  • et , donc .

  • Soit . Comme , existe, est inversible, et, par le Lemme 1, .

  • Enfin, est clairement stable par multiplication.

Ainsi, est un sous-groupe de , ce qui, combiné au Lemme 2, nous dit que est bien définie. Il s’agit de plus d’un morphisme de groupes. En effet, , on a , d’où .

Montrons que est un ouvert connexe de . Notons qu’il s’agit bien d’un ouvert de , car c’est l’intersection de avec qui est ouvert dans . Ensuite, soient . On pose ne s’annule ni en , ni en par inversibilité de et . a un nombre fini de racines car n’est pas nul : on peut trouver une fonction continue qui évite ces racines. Donc, donc est connexe par arcs, donc est connexe.

Il s’agit maintenant de montrer que est un ouvert-fermé de . Par le théorème d’inversion locale appliqué à (qui est bien sur l’espace de Banach et, par le Lemme 3, ) : il existe un voisinage de dans et un ouvert de contenant tels que soit un difféomorphisme de classe . Soit . Posons Pour tout , , donc . Soit , alors . Or, , donc . On en déduit que et que est un ouvert par continuité de . Comme contient , est un voisinage de . Or, est inclus dans car pour tout , il existe tel que . Ainsi, On en déduit que est un ouvert.

Montrons maintenant que Soient et . Alors . Supposons par l’absurde que . Il existe donc tel que et . Comme est un groupe multiplicatif, alors : absurde. On conclut que Réciproquement, supposons que . Comme , alors . On en déduit , d’où la fermeture de .

est un ouvert fermé non vide (car contient ) de , alors . Pour conclure, si , alors comme , . Donc , et est bien surjective. ◻

Application 5. , où désigne les carrés de .

Démonstration. Soit . Alors, d’où . Réciproquement, soit . Posons . D’après le Théorème 4, Comme est une matrice réelle, alors en passant au conjugué, on obtient . Ainsi, d’où . ◻