Théorème central limite

analysis

En établissant d’abord le théorème de Lévy, on démontre le théorème central limite, qui dit que si $(X_{n})$ est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées admettant un moment d’ordre $2$ , alors $\frac{X _{1} + \dots + X _{n} - n E ( X _{1} )}{n}$ converge en loi vers $N (0, Var (X_{1}))$ .

Notation 1. Si $X$ est une variable aléatoire réelle, on note $ϕ_{X}$ sa fonction caractéristique.

[Z-Q]
p. 544

Théorème 2 (Lévy). Soient $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilité $(Ω, A, P)$ et $X$ une variable aléatoire réelle définie sur le même espace. Alors : $X_{n} ⟶ (d) X ⟺ ϕ_{X_{n}} converge simplement vers ϕ_{X}$

Démonstration. Sens direct : On suppose que $(X_{n})$ converge en loi vers $X$ . Pour tout $t \in R$ , la fonction $g_{t} : x \mapsto e^{i t x}$ est continue et bornée sur $R$ . Donc par définition de la convergence en loi : $n \to + \infty lim E (g_{t} (X_{n})) = E (g_{t} (X))$ ce que l’on voulait.

Réciproque : Soit $φ \in L_{1} (R)$ . On suppose que sa transformée de Fourier, $f = φ$ appartient également à $L_{1} (R)$ . Alors $E (f (X_{n})) = E (\int_{R} e^{i t X_{n}} φ (t) d t)$ Comme la fonction $(ω, t) \mapsto e^{i t X_{n} (ω)} φ (t)$ est intégrable pour la mesure $P \otimes λ$ , on peut appliquer le théorème de Fubini-Lebesgue pour intervertir espérance et intégrale : $E (f (X_{n})) = \int_{R} E (e^{i t X_{n}}) φ (t) d t$ On définit maintenant la suite de fonction $g_{n} : t \mapsto E (e^{i t X_{n}}) φ (t)$ . Alors :

$\forall n \in N$ , $g_{n}$ est mesurable.
La suite de fonction $(g_{n})$ converge presque partout vers $g : t \mapsto E (e^{i tX}) φ (t)$ par hypothèse.
$\forall n \in N$ et pp. en $t \in R$ , $∣ g_{n} (t) ∣ \leq E (∣ e^{i t X_{n}} ∣) ∣ φ (t) ∣ \leq P (Ω) ∣ φ (t) ∣ = ∣ φ (t) ∣$ avec $∣ φ ∣ \in L_{1} (R)$ .

On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée pour obtenir $E (f (X_{n})) ⟶ \int_{R} E (e^{i tX}) φ (t) d t = E (f (X))$ Ainsi, le résultat est vrai pour toute fonction $L_{1} (R)$ dans l’image de $L_{1} (R)$ par la transformée de Fourier. En particulier, il est vrai pour tout $f \in S (R)$ , dense dans $(C (R), ∥. ∥_{\infty})$ . Soient maintenant $f \in C (R)$ et $(f_{k})$ une suite de fonctions de $S (R)$ qui converge uniformément vers $f$ . Alors, $∣ E (f (X_{n})) - E (f (X)) ∣ = ∣ E (f (X_{n})) - E (f_{k} (X_{n})) + E (f_{k} (X_{n})) - E (f_{k} (X)) + E (f_{k} (X)) - E (f (X)) ∣ \leq 2∥ f - f_{k} ∥_{\infty} + ∣ E (f_{k} (X_{n})) - E (f_{k} (X)) ∣ ⟶ 0$ ◻

[G-K]
p. 307

Lemme 3. Soient $u, v \in C$ de module inférieur ou égal à $1$ et $n \in N^{*}$ . Alors $∣ z^{n} - u^{n} ∣ \leq n ∣ z - u ∣$

Démonstration. $∣ z^{n} - u^{n} ∣ = ∣ (z - u) \sum_{k = 0}^{n - 1} z^{k} u^{n - 1 - k} ∣ \leq n ∣ z - u ∣$ . ◻

Théorème 4 (Central limite). Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre $2$ . On note $m$ l’espérance et $σ^{2}$ la variance commune à ces variables. On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} - nm$ . Alors, $(\frac{S _{n}}{n}) ⟶ (d) N (0, σ^{2})$

Démonstration. On a $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - m)$ . Notons $ϕ$ la fonction caractéristique de $X_{1} - m$ . Comme les variables aléatoires $X_{1} - m, \dots, X_{n} - m$ sont indépendantes de même loi, la fonction caractéristique de $\frac{S _{n}}{n}$ vaut $\forall t \in R$ , $ϕ_{\frac{S _{n}}{n}} (t) = E (e^{i S_{n} (\frac{t}{n})}) = E (k = 1 \prod n e^{i (X_{k} - m) (\frac{t}{n})}) = k = 1 \prod n ϕ_{X_{k} - m} (\frac{t}{n}) = ϕ (\frac{t}{n})^{n}$ D’après le Théorème 2, pour montrer que $\frac{S _{n}}{n}$ converge en loi vers $N (0, σ^{2})$ , il suffit de montrer que $\forall t \in R, n \to + \infty lim ϕ (\frac{t}{n})^{n} = e^{- \frac{σ ^{2}}{2} t^{2}}$ car $t \mapsto e^{- \frac{σ ^{2}}{2} t^{2}}$ est la fonction caractéristique de la loi $N (0, σ^{2})$ .

Comme $X_{1}$ admet un moment d’ordre $2$ , $ϕ$ est de classe $C^{2}$ et

$ϕ (0) = 1$ .
$ϕ^{'} (0) = i^{1} E (X_{1}^{1}) = 0$ .
$ϕ^{''} (0) = i^{2} E (X_{1}^{2}) = - E (X^{2}) = - σ^{2}$ (car $m = 0$ ).

Ce qui donne le développement limité en $0$ de $ϕ$ à l’ordre $2$ (par la formule de Taylor-Young) : $ϕ (t) = ϕ (0) + \frac{ϕ ^{'} ( 0 )}{1 !} (t - 0) + \frac{ϕ ^{''} ( 0 )}{2 !} (t - 0)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2} + o (t^{2}) (*)$ Et, en appliquant le Lemme 3 : $ϕ (\frac{t}{n})^{n} - e^{- \frac{σ ^{2}}{2} t^{2}} = ϕ (\frac{t}{n})^{n} - (e^{- \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2}})^{n} \leq n ϕ (\frac{t}{n}) - e^{- \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2}}$ On a d’une part, par développement limité : $e^{- \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2}} = 1 - \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2} + o (\frac{1}{n})$ Et d’autre part, par $(*)$ : $ϕ (\frac{t}{n}) = 1 - \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2} + o (\frac{1}{n})$ On obtient ainsi le résultat cherché, à savoir : $n ϕ (\frac{t}{n}) - e^{- \frac{σ ^{2}}{2 n} t^{2}} = o (1)$ ◻