Théorème central limite

Théorème central limite

analysis

En établissant d’abord le théorème de Lévy, on démontre le théorème central limite, qui dit que si est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées admettant un moment d’ordre , alors converge en loi vers .

Notation 1. Si est une variable aléatoire réelle, on note sa fonction caractéristique.

Théorème 2 (Lévy). Soient une suite de variables aléatoires réelles et une variable aléatoire réelle. Alors :

Démonstration. Sens direct : On suppose que converge en loi vers . Pour tout , la fonction est continue et bornée sur . Donc par définition de la convergence en loi : ce que l’on voulait.

Réciproque : Soit , on pose . Alors Comme la fonction est intégrable pour la mesure , on peut appliquer le théorème de Fubini-Lebesgue pour intervertir espérance et intégrale : On définit maintenant la suite de fonction . Alors :

  • , est mesurable.

  • La suite de fonction converge presque partout vers par hypothèse.

  • et pp. en , avec .

On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée pour obtenir Ainsi, le résultat est vrai pour toute fonction dans l’image de par la transformée de Fourier. En particulier, il est vrai pour tout , dense dans . Soient maintenant et une suite de fonctions de qui converge uniformément vers . Alors,  ◻

Lemme 3. Soient de module inférieur ou égal à et . Alors

Démonstration. . ◻

Théorème 4 (Central limite). Soit une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre . On note l’espérance et la variance commune à ces variables. On pose . Alors,

Démonstration. On a . Notons la fonction caractéristique de . Comme les variables aléatoires sont indépendantes de même loi, la fonction caractéristique de vaut , D’après le Théorème 2, pour montrer que converge en loi vers , il suffit de montrer que car est la fonction caractéristique de la loi .

Comme admet un moment d’ordre , est de classe et

  • .

  • .

  • (car ).

Ce qui donne le développement limité en de à l’ordre (par la formule de Taylor-Young) : Et, en appliquant le Lemme 3 : On a d’une part, par développement limité : Et d’autre part, par : On obtient ainsi le résultat cherché, à savoir :  ◻