Démonstration.

1. On vérifie sans difficulté que $\phi$ est un morphisme d’anneaux (du fait que les projections canoniques sur les quotients en sont). De là, $$\begin{array}{rl}\mathrm{Ker}(\phi )& =\{x\in A\mid \forall i\in [[1,r]],{\pi }_i(x)=0\}\\ & =\{x\in A\mid \forall i\in [[1,r]],a_i\mid x\}\\ & =\{x\in A\mid \mathrm{ppcm}(a_1,\dots ,a_r)\mid x\}\end{array}$$ Mais, $a_1,\dots ,a_r$ sont premiers entre eux deux à deux. Donc, $$\mathrm{ppcm}(a_1,\dots ,a_r)=a_1\dots a_r$$ et on conclut que $\mathrm{Ker}(\phi )=(a_1\dots a_r)$.

2. Supposons par l’absurde que $b_1,\dots ,b_r$ ne sont pas premiers entre eux dans leur ensemble. Comme $A$ est principal, donc factoriel, il existe un premier $p\in A$ tel que $$\forall i\in [[1,r]],p\mid b_i$$ Comme $p$ divise $b_1=a_2\dots a_r$, il existe $i\in [[2,r]]$ tel que $p\mid a_i$. Mais, divisant $b_i$, il divise $a_j$ où $j\in [[1,r]]\setminus \{i\}$. Contradiction car $a_1$ et $a_j$ sont premiers entre eux. La fin du raisonnement est une conséquence directe du théorème de Bézout valable dans les anneaux principaux.

3. Pour $i,j\in [[1,r]]$ tels que $i\ne j$, on a $${\pi }_j(b_i)={\pi }_j(0)$$ puisque $b_i$ est multiple de $a_j$. Ceci permet d’écrire $${\pi }_j(1)={\pi }_j\left(\sum _{i=1}^r{u}_i{b}_i\right)={\pi }_j(u_j){\pi }_j(b_j)$$ Donc, ${\pi }_j(b_j)$ est inversible dans $A/(a_j)$, d’inverse ${\pi }_j(u_j)$. Ainsi, soient ${\pi }_1(x_1),\dots ,{\pi }_r(x_r)\in A/(a_1)\times \cdots \times A/(a_r)$. En posant $$x=\sum _{i=1}^r{x}_i{u}_i{b}_i$$ on a $${\pi }_j(x)={\pi }_j(x_j){\pi }_j(u_j){\pi }_j(b_j)={\pi }_j(x_j)$$ donc $\phi (x)=({\pi }_1(x_1),\dots ,{\pi }_r(x_r))$. Le morphisme $\phi$ est surjectif. Par le théorème de factorisation des morphismes, il induit un isomorphisme $$\overline{\phi }:\begin{array}{ccc}A/(a_1\dots a_r)& \to & A/(a_1)\times \cdots \times A/(a_r)\\ \pi (x)& \mapsto & ({\pi }_1(x),\dots ,{\pi }_r(x))\end{array}$$ et on a même prouvé que l’inverse ${\overline{\phi }}^{-1}$ est défini par $${\overline{\phi }}^{-1}:\begin{array}{ccc}A/(a_1)\times \cdots \times A/(a_r)& \to & A/(a_1\dots a_r)\\ ({\pi }_1(x_1),\dots ,{\pi }_r(x_r))& \mapsto & \pi \left({\sum }_{i=1}^r{x}_i{u}_i{b}_i\right)\end{array}$$

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Démonstration. On se place dans l’anneau principal $A=\mathbb{Z}$. Les entiers $3$, $5$ et $7$ sont premiers entre eux : le triplet $(1+(3),3+(5),0+(7))=(x_1+(3),x_2+(5),x_3+(3))$ admet un unique antécédent par ${\overline{\phi }}^{-1}$ du Théorème 2. On a ainsi existence et unicité d’une solution modulo $3\times 5\times 7=105$. On explicite une relation de Bézout pour $15,21,35$ : $$\underset{=u_1}{\underbrace{-1}}\times \underset{=b_1}{\underbrace{35}}+\underset{=u_2}{\underbrace{6}}\times \underset{=b_2}{\underbrace{21}}+\underset{=u_3}{\underbrace{(-6)}}\times \underset{=b_3}{\underbrace{15}}=1$$ Reste à calculer $$\begin{array}{rl}{\overline{\phi }}^{-1}(1+(3),3+(5),0+(7))& =\sum _{i=1}^3{x}_i{u}_i{b}_i+(105)\\ & =1\times (-1)\times 35+3\times 6\times 21+0\times (-6)\times 15+(105)\\ & =343+(105)\\ & =28+(105)\end{array}$$ Les solutions sont bien de la forme escomptée. ◻