Théorème d’Abel angulaire

Théorème d’Abel angulaire

analysis

On montre le théorème d’Abel angulaire, qui permet d’intervertir certaines sommes et limites, et on l’applique justement au calcul de deux sommes.

Théorème 1 (Abel angulaire). Soit une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que converge. On note la somme de cette série sur le disque unité de . On fixe et on pose .

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Alors .

Démonstration. On note , , et . On chercher à majorer ; on va effectuer une transformation d’Abel en écrivant , . Soit . , on a Donc en faisant : Soit . tel que , . D’après , , Soit de sorte que avec et . Notons avant toute chose que . Cherchons maintenant des conditions sur pour majorer les deux termes :

  • On a : En supposant , cela permet de majorer le deuxième terme de :

  • Soit suffisamment petit pour que . Si tel que , alors on peut majorer le premier terme de :

Donc, en faisant tel que (on aura bien ), et en injectant les deux majorations trouvées dans : d’où le résultat. ◻

Application 2.

Démonstration. En appliquant le Théorème 1 :  ◻

Application 3.

Démonstration. Toujours en appliquant le Théorème 1 :  ◻