Démonstration. Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $(\mathcal{C}(I,{\mathbb{K}}^d),\Vert .{\Vert }_{\infty })$. Soit $x\in I$, on a $$\forall p,q\in \mathbb{N},|f_p(x)-f_q(x)|\le \Vert f_p-f_q{\Vert }_{\infty }$$ donc $(f_n(x))$ est de Cauchy dans $\mathbb{K}$. Comme $\mathbb{K}$ est complet, la suite $(f_n(x))$ converge vers une limite notée $f(x)$. Ainsi, la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f:I\to \mathbb{K}$ nouvellement définie. Il reste à montrer que la fonction $f$ est continue.

Notons déjà que $(f_n)$ est de Cauchy, et est en particulier bornée : $$\exists M\ge 0\text{ tel que }\Vert f_n{\Vert }_{\infty }\le M$$ donc en particulier, si $x\in I$, $|f_n(x)|\le M$. Par passage à la limite, on obtient $|f(x)|\le M$. Donc $f$ est bornée et écrire $\Vert f{\Vert }_{\infty }$ a bien du sens.

Soit $ϵ>0$. Par définition, $$\exists N\in \mathbb{N}\text{ tel que }\forall p,q\ge N,\Vert f_p-f_q{\Vert }_{\infty }<ϵ$$ Donc, $$\forall x\in I,\forall p,q\ge N,|f_p(x)-f_q(x)|\le \Vert f_p-f_q{\Vert }_{\infty }<ϵ$$ En faisant tendre $p$ vers l’infini, on obtient : $$\forall x\in I,\forall q\ge N,|f(x)-f_q(x)|<ϵ$$ Nous venons d’écrire exactement la définition de la convergence uniforme ! Ainsi, $(f_n)$ est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers $f$, donc $f$ est continue. ◻

Démonstration. Commençons par supposer l’intervalle $I$ compact. On va montrer l’existence d’une solution globale. On écrit l’équation sous forme intégrale : $$Y\in {\mathcal{C}}^1\text{ veˊrifie }(C)⟺Y(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}A(u)Y(u)+B(u)\mathrm{d}u\text{\hspace{1em}(∗)}$$ et on introduit la suite de fonctions $(Y_n)$ définie par récurrence sur $I$ par $Y_0=y_0$ et : $$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },Y_{n+1}(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}A(u)Y_n(u)+B(u)\mathrm{d}u\text{\hspace{1em}(∗∗)}$$ Notons $\alpha ={\sup }_{t\in I}\Vert A(t)\Vert$ et $\beta ={\sup }_{t\in I}\Vert B(t)\Vert$. Montrons par récurrence que pour tout $n\ge 1$ et tout $t\in I$ : $$\Vert Y_n(t)-Y_{n-1}(t)\Vert \le (\alpha \Vert y_0\Vert +\beta )\frac{{\alpha }^{n-1}|t-t_0{|}^n}{n!}$$ Le résultat est clairement vrai pour $n=1$, supposons donc le vrai à rang $n\ge 1$. Pour $t\ge t_0$ : $$\begin{array}{rl}\Vert Y_{n+1}(t)-Y_n(t)\Vert & =\left|\left|{\int }_{t_0}^{t}A(u)\times (Y_n(u)-Y_{n-1}(u))\mathrm{d}u\right|\right|\\ & \le \alpha {\int }_{t_0}^t(\alpha \Vert y_0\Vert +\beta )\frac{{\alpha }^{n-1}|u-t_0{|}^n}{n!}\mathrm{d}u\\ & \le (\alpha \Vert y_0\Vert +\beta )\frac{{\alpha }^n|t-t_0{|}^{n+1}}{(n+1)!}\end{array}$$ et on procède de même pour $t\le t_0$, ce qui achève la récurrence.

Soit $L$ la longueur de $I$. On obtient donc : $$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\Vert Y_n-Y_{n-1}{\Vert }_{\infty }\le (\alpha \Vert y_0\Vert +\beta )\frac{{\alpha }^{n-1}}{n!}{L}^n$$ Il en résulte que la série de fonction $\sum (Y_n-Y_{n-1})$ est normalement convergente. Comme $(\mathcal{C}(I,{\mathbb{K}}^d),\Vert .{\Vert }_{\infty })$ est complet, la série est uniformément convergente. On a donc l’existence d’une fonction $Y\in \mathcal{C}(I,{\mathbb{K}}^d)$ telle que $${\Vert \sum _{n=1}^N(Y_n-Y_{n-1})-Y\Vert }_{\infty }={\Vert Y_n-(Y+Y_0)\Vert }_{\infty }⟶0$$ ie. $(Y_n)$ converge vers $Y+Y_0=Y+y_0=Z$. Par convergence uniforme sur un intervalle compact, il est possible de passer à la limite dans $(\ast \ast )$. D’où : $$\forall t\in I,Z(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}A(u)Z(u)+B(u)\mathrm{d}u$$ et comme $Z$ est continue, elle est ${\mathcal{C}}^1$ et vérifie donc bien $(\ast )$.

On peut maintenant montrer l’unicité. Soient $Y$ et $Z$ deux solutions de $(C)$ sur $I$. Par récurrence sur l’entier $n$, on montre comme ci-dessus que pour tout $t\in I$ : $$\Vert Y(t)-Z(t)\Vert \le \frac{{\alpha }^n|t-t_0{|}^n}{n!}\Vert Y-Z{\Vert }_{\infty }⟶0$$ donc $Y$ et $Z$ coïncident bien sur $I$.

Supposons maintenant $I$ quelconque. Il existe donc $(K_n)$ une suite croissante d’intervalles compacts telle que $I={\bigcup }_{n=0}^{+\infty }{K}_n$. En particulier, on définit bien l’application $$\theta :\begin{array}{ccc}I& \to & {\mathbb{K}}^d\\ t& \mapsto & Y_n(t)\end{array}$$ (où $Y_n$ est la solution de $(C)$ sur $K_n\ni t$). En particulier, $\theta$ est dérivable sur $I$ tout entier, vérifie $(C)$, et prolonge toute solution. ◻

Démonstration. Nous commençons par montrer l’existence en $4$ étapes.

• Localisation : Fixons un réel $r>0$ tel que le produit $P=[t_0-r,t_0+r]\times \overline{B}(y_0,r)$ soit contenu dans $I\times \Omega$. $F$ est continue sur $P$ qui est compact, donc est bornée par $M$ sur $P$.

• Mise sous forme intégrale : Comme une solution de $y^{\prime }=F(t,y)$ est de ce fait ${\mathcal{C}}^1$, on a $$y\in {\mathcal{C}}^1\text{ veˊrifie }(C)⟺y(t)=y_0+{\int }_{t_0}^{t}F(u,y(u))\mathrm{d}u\text{\hspace{1em}(∗)}$$

• Choix d’un domaine stable : Soit $\alpha \in ]0,r[$. Introduisons l’intervalle $I_{\alpha }=[t_0-\alpha ,t_0+\alpha ]$, l’espace $A_{\alpha }=\mathcal{C}(I_{\alpha },\overline{B}(y_0,r))$, puis l’application $$\Psi :\begin{array}{ll}{A}_{\alpha }& \to \mathcal{C}(I_{\alpha },E)\\ \phi & \mapsto \left(t\mapsto y_0+{\int }_{t_0}^{t}F(u,\phi (u))\mathrm{d}u\right)\end{array}$$ Le problème est ici de rendre $A_{\alpha }$ stable par $\Psi$. Pour tout $t\in I_{\alpha }$, $$\begin{array}{rl}& \Vert F(t,\phi (t))\Vert \le M\\ ⟹& \Vert \Psi (\phi )(t)-y_0\Vert \le M|t-t_0|\le \alpha M\end{array}$$ Par suite, en choisissant $\alpha M<r$, le domaine $A_{\alpha }$ est stable par $\Psi$.

• Détermination d’un domaine de contraction : Ici, $A_{\alpha }$ est normé par la norme $\Vert .{\Vert }_{\infty }$, et on veut faire de $\Psi$ une contraction stricte. Soient $\phi ,\varphi \in A_{\alpha }$, par définition, pour tout $t\in I_{\alpha }$, $$\begin{array}{rl}\Vert (\Psi (\phi )-\Psi (\varphi ))(t)\Vert & =\Vert {\int }_{t_0}^t(F(u,\phi (u))-F(u,\varphi (u)))\mathrm{d}u\Vert \\ & \le k|t-t_0|\Vert \phi -\varphi {\Vert }_{\infty }\\ & \le k\alpha \Vert \phi -\varphi {\Vert }_{\infty }\end{array}$$ où $k$ désigne le rapport de lipschitziannité de $F$. On choisit désormais $\alpha$ tel que $k\alpha <1$ et $\alpha M<r$.

• Conclusion : L’application $\Psi$ est, par choix de $\alpha$, une contraction stricte de $(A_{\alpha },\Vert .{\Vert }_{\infty })$ dans lui-même. Le fermé $\overline{B}(y_0,r)$ de l’espace de Banach de $E$ est complet, par suite $(A_{\alpha },\Vert .{\Vert }_{\infty })$ l’est aussi.

  Par le théorème du point fixe de Banach, $\Psi$ possède donc un point fixe $\phi$ dans $A_{\alpha }$. $\phi$ est alors de classe ${\mathcal{C}}^1$ et vérifie $(C)$ par $(\ast )$.

Il reste maintenant à montrer l’unicité. On note $\mathcal{S}$ l’ensemble des solutions de $(C)$. $\mathcal{S}\ne \varnothing$, donc peut définir $J$ comme la réunion des intervalles de définition des solutions de $(C)$.

Soient $\phi ,\varphi \in \mathcal{S}$ (on note $K$ et $L$ leur intervalle de définition). Une récurrence sur $n$ donne $$\begin{array}{rl}\forall t\in K\cap L,\forall n\in \mathbb{N},\Vert \phi (t)-\varphi (t)\Vert & \le \left|{\int }_{t_0}^t\Vert F(u,\phi (u))-F(u,\varphi (u))\Vert \mathrm{d}u\right|\\ & \le \frac{|t-t_0{|}^n}{n!}{k}^n\underset{t\in K\cap L}{\sup }|\phi (t)-\varphi (t)|\\ & ⟶0\end{array}$$ Donc $\phi$ et $\varphi$ coïncident sur $K\cap L$.

Ainsi, on définit correctement l’application $$\theta :\begin{array}{ccc}J& \to & E\\ t& \mapsto & \varphi (t)\end{array}$$ (où $\varphi \in S$ tel que $t$ est dans son intervalle de définition). Si $t\in J$, il existe $\varphi \in \mathcal{S}$ tel que $t$ soit dans son intervalle de définition $K$. Comme $\varphi$ et $\theta$ coïncident sur $K$, $\theta$ est dérivable sur $K$ et $$\forall t\in K,{\theta }^{\prime }(t)={\varphi }^{\prime }(t)=F(t,\varphi (t))=F(t,\theta (t))$$ Et comme $\theta (t_0)=y_0$, $\theta \in \mathcal{S}$ et prolonge toute solution. Donc $\theta$ est maximale et est bien unique. ◻