Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

analysis

En construisant un raisonnement autour du théorème du point fixe de Banach, on montre le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit l’existence d’une solution répondant à une condition initiale et l’unicité d’une solution maximale.

Soit ou .

Lemme 1. Soit un intervalle compact. L’espace est complet.

Démonstration. Soit une suite de Cauchy de . Soit , on a donc est de Cauchy dans . Comme est complet, la suite converge vers une limite notée . Ainsi, la suite de fonctions converge simplement vers la fonction nouvellement définie. Il reste à montrer que la fonction est continue.

Notons déjà que est de Cauchy, et est en particulier bornée : donc en particulier, si , . Par passage à la limite, on obtient . Donc est bornée et écrire a bien du sens.

Soit . Par définition, Donc, En faisant tendre vers l’infini, on obtient : Nous venons d’écrire exactement la définition de la convergence uniforme ! Ainsi, est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers , donc est continue. ◻

Théorème 2 (Cauchy-Lipschitz linéaire). Soient et deux fonctions continues. Alors , le problème de Cauchy admet une unique solution définie sur tout entier.

Démonstration. Commençons par supposer l’intervalle compact. On va montrer l’existence d’une solution globale. On écrit l’équation sous forme intégrale : et on introduit la suite de fonctions définie par récurrence sur par et : Notons et . Montrons par récurrence que pour tout et tout : Le résultat est clairement vrai pour , supposons donc le vrai à rang . Pour : et on procède de même pour , ce qui achève la récurrence.

Soit la longueur de . On obtient donc : Il en résulte que la série de fonction est normalement convergente. Comme est complet, la série est uniformément convergente. On a donc l’existence d’une fonction telle que ie. converge vers . Par convergence uniforme sur un intervalle compact, il est possible de passer à la limite dans . D’où : et comme est continue, elle est et vérifie donc bien .

On peut maintenant montrer l’unicité. Soient et deux solutions de sur . Par récurrence sur l’entier , on montre comme ci-dessus que pour tout : donc et coïncident bien sur .

Supposons maintenant quelconque. Il existe donc une suite croissante d’intervalles compacts telle que . En particulier, on définit bien l’application (où est la solution de sur ). En particulier, est dérivable sur tout entier, vérifie , et prolonge toute solution. ◻