Théorème de Dirichlet faible

algebra

En raisonnant par l’absurde et en utilisant certaines propriétés des polynômes cyclotomiques, on démontre que l’ensemble des premiers congrus à $1$ modulo un certain entier $n$ est infini.

[GOU21]
p. 99

Lemme 1. Soient $a \in N$ et $p$ premier tels que $p ∣ Φ_{n} (a)$ mais $p ∤ Φ_{d} (a)$ pour tout diviseur strict $d$ de $n$ . Alors $p \equiv 1 mod n$ ou $p ∣ n$ .

Démonstration. On a, $X^{n} - 1 = d ∣ n \prod Φ_{d} = Φ_{n} = F d ∣∣ n \prod Φ_{d}$ Comme $F \in Z [X]$ , en évaluant en $a$ : $a^{n} - 1 = Φ_{n} (a) F (a) ⟹ p ∣ a^{n} - 1 car F (a) \in Z$ Autrement dit, $a^{n} \equiv 1 mod p$ . En notant $m$ l’ordre de $\overline{a}$ dans $(Z / p Z)^{*}$ , on a $a^{m} \equiv 1 mod p$ . D’où $m ∣ n$ . Ainsi :

Si $m = n$ , alors $\overline{a}$ est d’ordre $n$ . Donc par le théorème de Lagrange, $n ∣ ∣ (Z / p Z)^{*} ∣ = p - 1$ ie. $p \equiv 1 mod n$ .
Sinon, $m < n$ . Comme $m ∣ n$ , $X^{n} - 1 = d ∣ n \prod Φ_{d} = Φ_{n} d ∣ m \prod Φ_{d} d ∣∣ n d ∤ m \prod Φ_{d} = Φ_{n} (X^{m} - 1) d ∣∣ n d ∤ m \prod Φ_{d}$ Mais, $\overline{a}$ est racine de $\overline{Φ_{n}}$ et $X^{m} - \overline{1} \in Z / p Z [X]$ . En particulier, $\overline{a}$ est (au moins) racine double de $X^{n} - \overline{1}$ . On peut donc écrire, $X^{n} - 1 \equiv (X - a)^{2} G (X) mod p$ Avec $X = Y + a$ , cela donne : $(Y + a)^{n} - 1 \equiv Y^{2} G (Y + a) mod p$ Le polynôme de droite est de degré $\geq 2$ , donc $p$ divise les coefficients des termes de degré $0$ et $1$ de $(Y + a)^{n} - 1$ , ie. $p ∣ a^{n} - 1 et p ∣ (1 n) a^{n - 1} = n a^{n - 1}$ De la première égalité, on en tire $p ∤ a$ . Ainsi, $a$ est premier avec $p$ (c’est donc également vrai pour $a^{n - 1}$ ). Finalement, on tire de la deuxième égalité que $p ∣ n$ .

◻

Théorème 2 (Dirichlet faible). Pour tout entier $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$ .

Démonstration. On suppose par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini de premiers de la forme $1 + kn$ , que l’on note $p_{1}, \dots, p_{m}$ . On considère $N = Φ_{n} (α)$ où $α = n p_{1} \dots p_{m}$ . On remarque en particulier que $N \equiv a_{0} mod α$ , où $a_{0}$ est le coefficient constant de $Φ_{n}$ (cela se voit en écrivant $Φ_{n} = \sum_{k = 0}^{φ (n)} a_{k} X^{k}$ , ce qui donne $N = a_{0} + α \sum_{k = 1}^{φ (n)} a_{k} α^{k - 1}$ une fois évalué en $α$ ).

Or, $X^{n} - 1 = \prod_{d ∣ n} Φ_{d}$ . En évaluant en $0$ , on en tire : $- 1 = d ∣ n \prod Φ_{d} (0) ⟹ \pm 1 = a_{0}, car \forall d ∣ n, Φ_{d} \in Z [X]$ Ainsi, $N \equiv \pm 1 mod α$ . Or $∣ N ∣ = ∣ Φ_{n} (α) ∣ = \prod_{ξ \in π_{n}^{*}} ∣ α - ξ ∣ > 1$ . On peut en effet interpréter $∣ α - ξ ∣$ comme la distance du complexe $α$ au complexe $ξ$ ; le premier est sur l’axe réel et est supérieur ou égal à $2$ , le second est sur le cercle unité :

$tikzpicture-1$

En particulier, il existe $p$ premier tel que $p ∣ N$ . Par le Lemme 1 :

Ou bien $p ∣ n$ , dans ce cas $p ∣ α = n p_{1} \dots p_{m}$ .
Ou bien $p \equiv 1 mod n$ , dans ce cas $p = p_{k}$ pour un certain $k \in [[1, m]]$ . Et on a encore $p ∣ α$ .

Pour conclure, on écrit $N = α q \pm 1$ (par division euclidienne), et on a $p ∣ N - α q = \pm 1$ : absurde. ◻

Remarque 3. Si vous choisissez de présenter ce développement, il faut au moins connaître l’énoncé de la version forte du théorème.

Théorème 4 (Progression arithmétique de Dirichlet). Pour tout entier $n$ et pour tout $m$ premier avec $n$ , il existe une infinité de nombres premiers congrus à $m$ modulo $n$ .