Théorème de Dirichlet faible

Théorème de Dirichlet faible

algebra

En raisonnant par l’absurde et en utilisant certaines propriétés des polynômes cyclotomiques, on démontre que l’ensemble des premiers congrus à modulo un certain entier est infini.

Lemme 1. Soient et premier tels que mais pour tout diviseur strict de . Alors .

Démonstration. On a, Comme , en évaluant en : Autrement dit, . En notant l’ordre de dans , on a . D’où . Ainsi :

  • Si , alors est d’ordre . Donc par le théorème de Lagrange, ie. .

  • Sinon, . Comme , Mais, est racine de et . En particulier, est (au moins) racine double de . On peut donc écrire, Avec , cela donne : Le polynôme de droite est de degré , donc divise les coefficients des termes de degré et de , ie. De la première égalité, on en tire . Ainsi, est premier avec (c’est donc également vrai pour ). Finalement, on tire de la deuxième égalité que .

 ◻

Théorème 2 (Dirichlet faible). Pour tout entier , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .

Démonstration. On suppose par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini de premiers de la forme , que l’on note . On considère . On remarque en particulier que , où est le coefficient constant de (cela se voit en écrivant , ce qui donne une fois évalué en ).

Or, . En évaluant en , on en tire : Ainsi, . Or . On peut en effet interpréter comme la distance du complexe au complexe ; le premier est sur l’axe réel et est , le second est sur le cercle unité :

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En particulier, premier tel que . Par le Lemme 1 :

  • Ou bien , dans ce cas .

  • Ou bien , dans ce cas pour un certain . Et on a encore .

Pour conclure, on écrit (par division euclidienne), et on a : absurde. ◻

Remarque 3. Si vous choisissez de présenter ce développement, il faut au moins connaître l’énoncé de la version forte du théorème.

Théorème 4 (Progression arithmétique de Dirichlet). Pour tout entier et pour tout premier avec , il existe une infinité de nombres premiers congrus à modulo .