Théorème de Fejér

Théorème de Fejér

analysis

Dans ce développement, on montre le théorème de Fejér, qui assure la convergence de la série de Fourier d’une fonction vers sa série de Fourier au sens de Cesàro.

Notation 1. Pour tout , on note l’espace des fonctions , -périodiques et mesurables, telles que .

Notation 2. On note :

  • .

  • , le noyau de Dirichlet.

  • , le noyau de Fejér.

Notation 3. On note également, pour toute fonction .

  • , le -ième coefficient de Fourier de .

  • , la somme partielle d’ordre de la série de Fourier de .

  • , la moyenne de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier de .

Lemme 4. Soit .

  1. est une fonction paire, -périodique, et de norme .

  2. Pour tout .

Démonstration. Soit .

  1. Soit . Donc est bien paire. Elle est -périodique car l’est pour tout . De plus,

  2. Soit . On a :

  3. Soit .

 ◻

Lemme 5. Soient et .

  1. est une fonction positive et de norme .

  2. .

  3. .

Démonstration. Soit . Nous allons user et abuser du Lemme 4.

  1. La positivité résulte directement du point suivant. De plus,

  2. Soit .

  3. Donc on a bien .

 ◻

Théorème 6 (Fejér). Soit une fonction -périodique.

  1. Si est continue, alors et converge uniformément vers .

  2. Si pour , alors et converge vers pour .

Démonstration.

  1. On suppose continue.

    • Sur l’intervalle compact , est bornée et atteint ses bornes. En particulier, est bien définie. De plus, si , par le Lemme 5 on a : Donc, d’où est bornée avec

    • Soit . Posons le module de continuité de . Pour tout , on a : d’où Donc, on a : On peut passer à la limite supérieure dans pour obtenir : Comme est continue sur le compact , elle y est uniformément continue par le théorème de Heine : On peut donc faire tendre vers pour obtenir ie. Comme, On a bien,

    • Par le Lemme 5, on a : On applique l’inégalité de Hölder à : Enfin, en intégrant par parties et en utilisant le théorème de Fubini-Tonelli :

    • Par : En posant (où est l’opérateur de translation) : Comme est continue et -périodique, on a par le point précédent Donc, on a bien,

 ◻

Remarque 7. Dans ce développement, il est courant de ne prouver que le premier point.