Théorème de Fejér

analysis

Dans ce développement, on montre le théorème de Fejér, qui assure la convergence de la série de Fourier d’une fonction au sens de Cesàro.

Lemme 1. Soit $f : R \to C$ une fonction continue et $T$ -périodique. Alors $f$ est uniformément continue sur $R$ .

Démonstration. Le théorème de Heine implique la continuité uniforme de $f$ sur $[- T, 2 T]$ , ce qui s’écrit : $\forall ϵ > 0, \exists η > 0 tel que \forall x, y \in [- T, 2 T], ∣ x - y ∣ < η ⟹ ∣ f (x) - f (y) ∣ < ϵ (*)$ Soit $ϵ > 0$ et soit le $η > 0$ correspondant donné par $(*)$ , que l’on peut supposer strictement inférieur à $T$ . Soient $x, y \in R$ tels que $∣ x - y ∣ < η$ . Il existe $k \in Z$ tel que $x^{'} = x + k T \in [0, T]$ . Alors, $y^{'} = y + k T \in [x^{'} - η, x^{'} + η] \subseteq [- T, 2 T]$ Comme $∣ x^{'} - y^{'} ∣ < η$ , on en déduit $∣ f (x) - f (y) ∣ = ∣ f (x^{'}) - f (y^{'}) ∣ < ϵ$ ce qu’il fallait démontrer. ◻

[GOU21]
p. 306

Notation 2. On note $\forall n \in Z$ , $e_{n} : x \mapsto e^{in x}$ et, pour toute fonction $f$ continue et $2 π$ -périodique, $c_{n} (f)$ son $n$ -ième coefficient de Fourier.

Théorème 3 (Fejér). Soit $f : R \to C$ une fonction continue et $2 π$ -périodique. On note pour tout $n \in N$ , $S_{n}$ le $n$ -ième terme de sa série de Fourier et $C_{n} = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n S_{k}$ la suite des moyennes de Cesàro correspondante. Alors $(C_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $R$ .

Démonstration. On commence par noter, pour tout $n \in N$ , $D_{n} = \sum_{k = - n}^{n} e_{k}$ et $F_{n} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} D_{k}$ les noyaux de Dirichlet et de Fejér. Comme, pour tout $k \in Z^{*}$ , $\int_{- π}^{π} e_{n} (t) d t = 0$ , on a pour tout $n \in N$ , $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} D_{n} (t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e_{0} (t) d t = 1$ et donc, $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F_{n} (t) d t = \frac{1}{n + 1} (k = 0 \sum n \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} D_{n} (t) d t) = 1 (*)$ Calculons le noyau de Dirichlet. Soit $x \in R ∖ 2 π Z$ . On a pour tout $N \in N$ , $D_{N} (x) = e^{- i N x} n = 0 \sum 2 N e^{in x} = e^{- i N x} \frac{e ^{(2 N + 1) i x} - 1}{e ^{i x} - 1} = e^{- i N x} \frac{e ^{(2 N + 1) i \frac{x}{2}} ( e ^{(2 N + 1) i \frac{x}{2}} - e ^{- (2 N + 1) i \frac{x}{2}} )}{e ^{i \frac{x}{2}} ( e ^{i \frac{x}{2}} - e ^{- i \frac{x}{2}} )} = \frac{2 i sin ( ( N + \frac{1}{2} ) x )}{2 i sin ( \frac{x}{2} )} = \frac{sin ( ( N + \frac{1}{2} ) x )}{sin ( \frac{x}{2} )}$ D’où, pour tout $N \in N^{*}$ : $N F_{N - 1} = n = 0 \sum N - 1 D_{n} = n = 0 \sum N \frac{sin ( ( n + \frac{1}{2} ) x )}{sin ( \frac{x}{2} )} = \frac{1}{sin ( \frac{x}{2} )} Im (n = 0 \sum N - 1 e^{i (n + \frac{1}{2}) x}) = \frac{1}{sin ( \frac{x}{2} )} Im (e^{\frac{i x}{2}} \frac{e ^{i N x - 1}}{e ^{i x} - 1}) = \frac{1}{sin ( \frac{x}{2} )} Im (e^{\frac{i x}{2}} \frac{e ^{\frac{i N x}{2}} 2 i sin ( \frac{N x}{2} )}{e ^{\frac{i x}{2}} 2 i sin ( \frac{x}{2} )}) = \frac{sin ( \frac{N x}{2} )}{sin ( \frac{x}{2} ) ^{2}} Im (e^{\frac{i N x}{2}}) = \frac{sin ( \frac{N x}{2} ) ^{2}}{sin ( \frac{x}{2} ) ^{2}} (* *)$ Maintenant, on remarque que pour tout $n \in N$ et pour tout $x \in R$ , $S_{n} (x) = \frac{1}{2 π} k = 0 \sum n (\int_{- π}^{π} f (t) e^{- ik t} d t) e^{ik x} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) D_{n} (x - t) d t = f * D_{n}$ donc $C_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) F_{n} (x - t) d t = f * F_{n} = F_{n} * f$ par commutativité du produit de convolution. Soit $ϵ > 0$ . Le Lemme 1 assure l’existence de $η \in] 0, π [$ tel que $\forall x, y \in R, ∣ x - y ∣ < η ⟹ ∣ f (x) - f (y) ∣ < ϵ$ De plus, $∣ f ∣$ est continue sur tous les compacts de la forme $[2 kπ, 2 (k + 1) π]$ , on peut donc la majorer par un réel $M > 0$ . Alors, pour tout $x \in R$ , $∣ f (x) - C_{n} (x) ∣ = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x - t) F_{n} (t) d t - f (x) \times = 1 par (*) \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F_{n} (t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (f (x - t) - f (x)) F_{n} (t) d t \leq \frac{1}{2 π} \int_{η \leq ∣ t ∣ \leq π} 2 M F_{n} (t) d t + \frac{1}{2 π} \int_{- η}^{η} ϵ F_{n} (t) d t \leq \frac{2 M}{2 π} \int_{η \leq ∣ t ∣ \leq π} F_{n} (t) d t + ϵ$ Or, $(* *)$ montre que $\forall n \in N, \forall x \in [- π, π] tel que ∣ x ∣ > η, on a ∣ F_{n} (x) ∣ \leq \frac{1}{( n + 1 ) sin ( \frac{η}{2} ) ^{2}}$ donc $(F_{n})$ converge uniformément vers $0$ sur $[- π, π] ∖ [- η, η]$ . Il existe ainsi $N \in N$ tel que $\forall n \geq N, \int_{η \leq ∣ t ∣ \leq π} F_{n} (t) d t < ϵ$ de sorte que $\forall n \geq N, \forall x \in R, ∣ f (x) - C_{n} (x) ∣ \leq (\frac{M}{π} + 1) ϵ$ D’où le résultat. ◻

Remarque 4. Je préfère la preuve de [GOU21], qui est plus clés en main. Il est possible de passer les calculs des noyaux de Dirichlet et de Fejér dans un premier temps, puis de les montrer à la fin selon le temps restant.