Théorème de Frobenius-Zolotarev

Théorème de Frobenius-Zolotarev

algebra

Nous démontrons le théorème de Frobenius-Zolotarev qui permet de calculer la signature d’un endomorphisme d’un espace vectoriel sur un corps fini possédant au moins éléments.

Soient un nombre premier et un espace vectoriel sur de dimension finie.

Définition 1. Soit un hyperplan de et soit une droite supplémentaire de dans . La dilatation de base , de direction , et de rapport est l’unique endomorphisme de défini par

Remarque 2. On suppose connu le fait que les transvections et les dilatations engendrent .

Lemme 3. Soient et un hyperplan de tel que . Si , alors est une dilatation.

Démonstration. On note . Comme et , on en déduit que est valeur propre de multiplicité de et que est le sous-espace propre associé : On pose . est valeur propre de (on peut le voir par exemple en calculant le polynôme caractéristique de ) de multiplicité . Donc est diagonalisable, et dans une base adaptée à la diagonalisation, on a : d’où le résultat. ◻

Lemme 4. Les dilatations engendrent .

Démonstration. Pour obtenir le résultat, il suffit de montrer que toute transvection est la composée de deux dilatations (cf. 2). Soit une transvection d’hyperplan . Comme contient au moins éléments, il existe alors une dilatation d’hyperplan et de rapport .

Ainsi, l’application est dans et fixe . Comme , le Lemme 3 permet de conclure que est une dilatation. Ainsi, est le produit de deux dilatations est une dilatation (toujours d’après le Lemme 3). ◻

Notation 5. Soit . On note le symbole de Legendre de modulo .

Théorème 6 (Frobenius-Zolotarev). est vu comme une permutation des éléments de .

Démonstration. Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique, donc il existe tel que En conséquence, si est la dilatation de de base , de direction , et de rapport , alors il existe tel que . On en déduit que si est la dilatation de de base , de direction , et de rapport , alors écrit avec et : d’où . Ainsi, toute dilatation est une puissance d’une dilatation de rapport .

Comme , et sont tous trois des morphismes de groupes, et comme les dilatations engendrent (cf. Lemme 4), il suffit de montrer le résultat pour les dilatations de rapport .

Soit une dilatation de base , de direction , et de rapport . Supposons par l’absurde que . Comme , on a . Mais, , donc , ie. tout élément de est un carré. Or, il y a carrés dans (et , bien-sûr) : contradiction.

Il ne reste qu’à montrer que . Pour cela, on va étudier les orbites des éléments sous l’action de .

Soit . On a , donc son orbite est réduite à qui est de cardinal . Elle compte donc comme un dans le signe de .

Soit maintenant écrit avec et de sorte que pour tout .

  • est cyclique d’ordre , donc . Ainsi, .

  • Supposons par l’absurde que tel que . On a, ce qui est absurde dans les deux cas.

L’orbite de sous l’action de est donc qui est de cardinal (pair) et compte donc comme un dans le signe de .

Il ne reste qu’à compter le nombre d’orbites de cardinal . Les éléments contenus dans ces orbites forment exactement l’ensemble et il y en a donc (car est un hyperplan et est une droite). Comme ces orbites sont de cardinal , il y a donc exactement orbites. Or, est impair, donc est de signe négatif. Ainsi, . ◻