Théorème de Kronecker
Théorème de Kronecker
algebra
En utilisant les polynômes symétriques, nous montrons ici que toutes les racines d’un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont dans , sont en fait des racines de l’unité.
Lemme 1 (Relations de Viète). Soient un anneau commutatif unitaire intègre et que l’on suppose scindé dans et tel que . Si on note le -ième polynôme symétrique élémentaire en variables et , ..., les racines de (comptées avec multiplicité), alors .
Démonstration. On a . En développant partiellement , on a de même : Par identification avec la forme développée, les coefficients de doivent être égaux. En particulier : Et on procède de même pour trouver les autres coefficients. Par exemple, . ◻
Remarque 2. Tout au long de ce développement, nous utiliserons implicitement le fait que tout polynôme à coefficients dans (donc à fortiori aussi dans ) admet racines complexes comptées avec multiplicité. Il s’agit du théorème de d’Alembert-Gauss.
Théorème 3 (Kronecker). Soit unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.
Démonstration. Notons par l’ensemble des polynômes unitaires à coefficients dans tels que toutes leurs racines complexes appartiennent à . Soit dont on note les coefficients et les racines complexes. On note , . D’après le Lemme 1, on a : D’où : Et par , est donc un ensemble fini (car on n’a qu’un nombre limité de choix possibles pour les coefficients ).
On pose maintenant qui sont des polynômes unitaires de degré dont les racines appartiennent toutes à . Soient et . D’après le Lemme 1, le coefficient de de est . Mais, , donc on peut y appliquer le théorème fondamental des polynômes symétriques : Or, comme , on a , d’après le Lemme 1. En particulier, on a car . On en déduit que , .
Comme est fini, l’ensemble des racines de tous les ; qui est est fini. Soit . L’ensemble est inclus dans l’ensemble de ces racines, qui est fini ; il est donc lui-même fini : Quitte à échanger les deux, on peut supposer . Comme , on a . Donc est une racine de l’unité ; ce que l’on voulait. ◻
Corollaire 4. Soit unitaire et irréductible sur tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à . Alors ou est un polynôme cyclotomique.
Démonstration. Si est racine de , alors , donc par irréductibilité et unitarité. Sinon, n’est pas racine de . On peut donc appliquer le Théorème 3 à ; et donc les racines de sont des racines de l’unité. Ainsi, en notant le maximum des ordres des racines de , on a : Or, la décomposition en irréductibles de est Puisque est un anneau factoriel, est premier. Donc d’après le lemme de Gauss, comme : ◻