Théorème de Kronecker

algebra

En utilisant les polynômes symétriques, nous montrons ici que toutes les racines d’un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les racines sont dans $D (0, 1) ∖ {0}$ , sont en fait des racines de l’unité.

Lemme 1 (Relations de Viète). Soient $A$ un anneau commutatif unitaire intègre et $P = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} X^{i} \in A [X]$ que l’on suppose scindé dans $A [X]$ et tel que $a_{n} \in A^{*}$ . Si on note $Σ_{k} (X_{1}, \dots, X_{n})$ le $k$ -ième polynôme symétrique élémentaire en $n$ variables et $α_{1}$ , ..., $α_{n}$ les racines de $P$ (comptées avec multiplicité), alors $Σ_{k} (α_{1}, \dots, α_{n}) = (- 1)^{k} a_{n - k} a_{n}^{- 1}$ .

Démonstration. On a $P = a_{n} \prod_{i = 1}^{n} (X - α_{i})$ . En développant partiellement $P$ , on a de même : $P = a_{n} X^{n} - a_{n} (α_{1} + \dots + α_{n}) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} a_{n} α_{1} \dots α_{n}$ Par identification avec la forme développée, les coefficients de $X^{n - 1}$ doivent être égaux. En particulier : $a_{n - 1} = - a_{n} (α_{1} + \dots + α_{n}) ⟺ = Σ_{1} (α_{1}, \dots α_{n}) α_{1} + \dots + α_{n} = - a_{n - 1} a_{n}^{- 1}$ Et on procède de même pour trouver les autres coefficients. Par exemple, $a_{0} = (- 1)^{n} a_{n} α_{1} \dots α_{n} ⟺ Σ_{n} (α_{1}, \dots α_{n}) = (- 1)^{n} a_{0} a_{n}^{- 1}$ . ◻

Remarque 2. Tout au long de ce développement, nous utiliserons implicitement le fait que tout polynôme à coefficient dans $C$ (donc à fortiori aussi dans $Z$ ) admet $n$ racines complexes comptées avec multiplicité. Il s’agit du théorème de d’Alembert-Gauss.

[I-P]
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Théorème 3 (Kronecker). Soit $P \in Z [X]$ unitaire tel que toutes ses racines complexes appartiennent au disque unité épointé en l’origine (que l’on note $D$ ). Alors toutes ses racines sont des racines de l’unité.

Démonstration. Notons par $Ω_{n}$ l’ensemble des polynômes unitaires à coefficients dans $Z$ tels que toutes leurs racines complexes appartiennent à $D$ . Soit $P \in Ω_{n}$ dont on note $a_{0}, \dots, a_{n}$ les coefficients et $z_{1}, \dots, z_{n}$ les racines complexes. On note $\forall k \in [[0, n]]$ , $σ_{k} = Σ_{k} (z_{1}, \dots, z_{n})$ . D’après le Lemme 1, on a : $\forall k \in [[0, n]], σ_{k} = (- 1)^{k} a_{n - k} (*)$ D’où $\forall k \in [[0, n]]$ : $∣ σ_{k} ∣ = I \in P_{k} ([[1, n]]) \sum i \in I \prod z_{i} \leq I \in P_{k} ([[1, n]]) \sum i \in I \prod ∣ z_{i} ∣ \leq ∣ P_{k} ([[1, n]]) ∣ \times 1 = (k n)$ Et par $(*)$ , $\forall k \in [[0, n]], ∣ a_{k} ∣ \leq (n - k n) = (k n)$ $Ω_{n}$ est donc un ensemble fini (car on n’a qu’un nombre limité de choix possibles pour les coefficients $a_{k}$ ).

On pose maintenant $\forall k \in N, P_{k} = j = 0 \prod n (X - z_{j}^{k})$ qui sont des polynômes unitaires de degré $n$ dont les racines $z_{1}^{k}, \dots, z_{n}^{k}$ appartiennent toutes à $D$ . Soient $k \in N$ et $r \in [[0, n]]$ . D’après le Lemme 1, le coefficient de $X^{n - r}$ de $P_{k}$ est $(- 1)^{r} Σ_{r} (z_{1}^{k}, \dots, z_{n}^{k})$ . Mais, $Σ_{r} (X_{1}^{k}, \dots, X_{n}^{k}) \in Z [X]$ , donc on peut y appliquer le théorème fondamental des polynômes symétriques : $\exists Q_{r, k} \in Z [X] tel que Σ_{r} (X_{1}^{k}, \dots, X_{n}^{k}) = Q_{r, k} (Σ_{1} (X_{1}, \dots, X_{n}), \dots, Σ_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}))$ Or, comme $P \in Z [X]$ , on a $\forall j \in [[0, n]]$ , $Σ_{j} (z_{1}, \dots, z_{n}) \in Z$ d’après le Lemme 1. En particulier, on a $Σ_{r} (X_{1}^{k}, \dots, X_{n}^{k}) \in Z [X]$ car $Q_{r, k} \in Z [X]$ . On en déduit que $\forall k \in N$ , $P_{k} \in Ω_{n}$ .

Comme $Ω_{n}$ est fini, l’ensemble des racines de tous les $P_{k}$ ; qui est ${z \in C ∣ \exists k \in N, P_{k} (z) = 0}$ est fini. Soit $j \in [[1, n]]$ . L’ensemble ${z_{j}^{k} ∣ k \in N}$ est inclus dans l’ensemble de ces racines, qui est fini ; il est donc lui-même fini : $\exists k \neq = k^{'} tel que z_{j}^{k} = z_{j}^{k^{'}}$ Quitte à échanger les deux, on peut supposer $k \geq k^{'}$ . Comme $z_{j} \neq = 0$ , on a $z_{j}^{k - k^{'}} = 1$ . Donc $z_{j}$ est une racine de l’unité ; ce que l’on voulait. ◻

Corollaire 4. Soit $P \in Z [X]$ unitaire et irréductible sur $Q$ tel que toutes ses racines complexes soient de module inférieur ou égal à $1$ . Alors $P = X$ ou $P$ est un polynôme cyclotomique.

Démonstration. Si $0$ est racine de $P$ , alors $X ∣ P$ , donc $P = X$ par irréductibilité et unitarité. Sinon, $0$ n’est pas racine de $P$ . On peut donc appliquer le Théorème 3 à $P$ ; et donc les racines de $P$ sont des racines de l’unité. Ainsi, en notant $N$ le maximum des ordres des racines de $P$ , on a : $P ∣ (X^{N} - 1)^{n} o \overset{u}{ˋ} n = de g (P)$ Or, la décomposition en irréductibles de $X^{N} - 1$ est $X^{N} - 1 = d ∣ N \prod Φ_{d}$ Puisque $Q [X]$ est un anneau factoriel, $P$ est premier. Donc d’après le lemme de Gauss, comme $P ∣ X^{N} - 1$ : $\exists d ∣ N tel que P = Φ_{d}$ ◻