Premier théorème de Sylow

Premier théorème de Sylow

algebra

En procédant par récurrence sur le cardinal du groupe, on montre l’existence d’un sous-groupe de Sylow.

Théorème 1 (Cauchy faible). Soit un groupe abélien fini et soit un diviseur premier de l’ordre de . Alors, il existe un sous-groupe de d’ordre .

Démonstration. est fini, on peut donc l’écrire est un système de générateurs de . On définit Comme est abélien, est clairement un morphisme de groupes. Et comme est un système de générateurs de , est surjectif. On peut appliquer le premier théorème d’isomorphisme pour obtenir En particulier, . On note, pour tout , . On a ainsi, par transitivité de . Par le lemme d’Euclide, il existe tel que . On écrit avec , et on pose . Alors, est d’ordre et est un sous-groupe de d’ordre . ◻

Théorème 2 (Premier théorème de Sylow). Soit un groupe fini d’ordre avec et premier tel que . Alors, il existe un sous-groupe de d’ordre .

Démonstration. Posons . On va procéder par récurrence forte sur .

  • Si = 1 : Alors, et . La propriété est donc triviale.

  • On suppose la propriété vraie pour les groupes d’ordre strictement inférieur à . Si , c’est encore une fois trivial, pour les mêmes raisons qu’à l’initialisation de la propriété. Supposons donc . On fait agir sur lui-même par conjugaison, via l’action : Soit un système de représentants associé à la relation être dans la même orbite. La formule des classes donne Mais, donc, en regroupant, on peut réécrire : On a maintenant deux cas :

    • Il existe tel que : Alors, comme est un sous-groupe de d’ordre divisant strictement celui de , on peut y appliquer l’hypothèse de récurrence pour obtenir un sous-groupe d’ordre . Ce sous-groupe est donc également un sous-groupe de .

    • Pour tout , : Alors, en factorisant par dans les termes de la somme de , on constate que pour tout . Comme , toujours d’après , on a étant commutatif, on peut appliquer le Théorème 1. On obtient l’existence d’un sous-groupe de d’ordre , qui est de plus distingué dans car inclus dans . Alors, Il suffit maintenant d’appliquer l’hypothèse de récurrence à , qui donne l’existence d’un sous-groupe de d’ordre . On considère la surjection canonique Alors, est un sous-groupe de d’ordre :

      tikzpicture-1

      ce qu’on voulait.

 ◻