Démonstration. $G$ est fini, on peut donc l’écrire $$G=⟨x_1,\dots ,x_n⟩$$ où $(x_1,\dots ,x_n)$ est un système de générateurs de $G$. On définit $$\phi :\begin{array}{ccc}⟨x_1⟩\times \cdots \times ⟨x_n⟩& \to & G\\ (y_1,\dots ,y_n)& \mapsto & y_1\dots y_n\end{array}$$ Comme $G$ est abélien, $\phi$ est clairement un morphisme de groupes. Et comme $(x_1,\dots ,x_n)$ est un système de générateurs de $G$, $\phi$ est surjectif. On peut appliquer le premier théorème d’isomorphisme pour obtenir $$G\cong (⟨x_1⟩\times \cdots \times ⟨x_n⟩)/\mathrm{Ker}(\phi )$$ En particulier, $|G|\times |\mathrm{Ker}(\phi )|=|⟨x_1⟩|\times \cdots \times |⟨x_n⟩|$. On note, pour tout $i\in [[1,n]]$, $r_i=|⟨x_i⟩|$. On a ainsi, $$G\mid r_1\dots r_n⟹p\mid r_1\dots r_n$$ par transitivité de $\mid$. Par le lemme d’Euclide, il existe $i\in [[1,n]]$ tel que $p\mid r_i$. On écrit $r_i=pq$ avec $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et on pose $x=x_i^q$. Alors, $x$ est d’ordre $p$ et $H=⟨x⟩$ est un sous-groupe de $G$ d’ordre $p$. ◻

Démonstration. Posons $h=|G|$. On va procéder par récurrence forte sur $h$.

• Si $h$ = 1 : Alors, $n=1$ et $\alpha =0$. La propriété est donc triviale.

• On suppose la propriété vraie pour les groupes d’ordre strictement inférieur à $h$. Si $\alpha =0$, c’est encore une fois trivial, pour les mêmes raisons qu’à l’initialisation de la propriété. Supposons donc $\alpha \ge 1$. On fait agir $G$ sur lui-même par conjugaison, via l’action : $$(g,h)\mapsto gh{g}^{-1}$$ Soit $\Omega$ un système de représentants associé à la relation être dans la même orbite. La formule des classes donne $$|G|=\sum _{\omega \in \Omega }|G\cdot \omega |=\sum _{\omega \in \Omega }(G:{\mathrm{Stab}}_G(\omega ))=\sum _{\omega \in \Omega }\frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}\text{\hspace{1em}(∗)}$$ Mais, $${\mathrm{Stab}}_G(\omega )=G⟺\forall g\in G,g\omega g^{-1}=\omega ⟺\omega \in Z(G)$$ donc, en regroupant, on peut réécrire $(\ast )$ : $$\begin{array}{rl}|G|& =\sum _{\omega \in \Omega }\frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}\\ & =\sum _{\omega \in Z(G)}\frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}+\sum _{\omega \notin Z(G)}\frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}\\ & =|Z(G)|+\sum _{\omega \notin Z(G)}\frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}\end{array}\text{\hspace{1em}(∗∗)}$$ On a maintenant deux cas :

  • Il existe $\omega$ tel que $p^{\alpha }\mid |{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|$ : Alors, comme ${\mathrm{Stab}}_G(\omega )$ est un sous-groupe de $G$ d’ordre divisant strictement celui de $G$, on peut y appliquer l’hypothèse de récurrence pour obtenir un sous-groupe d’ordre $p^{\alpha }$. Ce sous-groupe est donc également un sous-groupe de $G$.

  • Pour tout $\omega$, $p^{\alpha }\nmid |{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|$ : Alors, en factorisant par $p$ dans les termes de la somme de $(\ast \ast )$, on constate que $p\mid \frac{|G|}{|{\mathrm{Stab}}_G(\omega )|}$ pour tout $\omega \notin Z(G)$. Comme $p\mid h$, toujours d’après $(\ast \ast )$, on a $$p\mid |Z(G)|$$ $Z(G)$ étant commutatif, on peut appliquer le Théorème 1. On obtient l’existence d’un sous-groupe $H$ de $Z(G)$ d’ordre $p$, qui est de plus distingué dans $G$ car inclus dans $Z(G)$. Alors, $$|G/H|=\frac{|G|}{|H|}=n{p}^{\alpha -1}$$ Il suffit maintenant d’appliquer l’hypothèse de récurrence à $G/H$, qui donne l’existence d’un sous-groupe $K$ de $G/H$ d’ordre $p^{\alpha -1}$. On considère la surjection canonique $${\pi }_H:G\to G/H$$ Alors, ${\pi }_H^{-1}(K)=\{g\in G\mid gH\in K\}$ est un sous-groupe de $G$ d’ordre $|K|\times |H|=p^{\alpha }$ :

    

    ce qu’on voulait.

 ◻