Démonstration. Tout élément $z\in \mathbb{Z}$ est constructible. Soit $(p,q)\in {\mathbb{Z}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$. Les points $P=(p,0)$ et $Q=(0,q)$ sont constructibles. On considère la droite $(d)$, parallèle à $(PQ)$ passant par $(0,1)$. Cette droite est constructible, et son point d’intersection avec la droite passant par les points $(0,0)$ et $(1,0)$ est $\left(\frac{p}{q},0\right)$ par le théorème de Thalès.

Donc $\frac{p}{q}\in \mathbb{E}$. Comme $0\in \mathbb{E}$, on a bien $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{E}$. ◻

Démonstration. Soient $u,v\in \mathbb{E}$. Commençons par montrer que $\mathbb{E}$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$.

• Le point $(u,0)$ est constructible donc son symétrique $(-u,0)$ l’est aussi. Donc $-u\in \mathbb{E}$.

  

• La droite passant par les points $(0,u)$ et $(-u,0)$ et la droite passant par les points $(v,0)$ et $(v,v)$ ont pour point d’intersection $(v,u+v)$ (par le théorème de Thalès). Donc $u+v\in \mathbb{E}$.

  

• D’après ce qui précède, $v+1$ et $v+1-u$ appartiennent à $\mathbb{E}$. La droite passant par les points $(v+1-u,v+1)$ et $(u,v)$ et la droite passant par les points $(0,0)$ et $(1,0)$ ont pour point d’intersection $(uv,0)$ (par le théorème de Thalès). Donc $uv\in \mathbb{E}$.

  

• On suppose $u\ne 0$. La droite passant par les points $(1,0)$ et $(u,-1)$ et la droite passant par les points $(0,0)$ et $(1,1)$ ont pour point d’intersection $(u^{-1},u^{-1})$ (par le théorème de Thalès). Donc $u^{-1}\in \mathbb{E}$.

  

Ainsi, $\mathbb{E}$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$, qui contient $\mathbb{Q}$ par le Lemme 2. Maintenant, soit $x\in \mathbb{E}$ avec $x>0$. Comme $\mathbb{E}$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$, on a $\frac{x+1}{2}\in \mathbb{E}$. Le cercle de centre $\left(\frac{x+1}{2},0\right)$ passant par $(0,0)$ et la droite passant par les points $(x,0)$ et $(x,x)$ ont pour point d’intersection $(x,\sqrt{x})$ et $(x,-\sqrt{x})$ par le théorème de Pythagore. Donc $\sqrt{x}\in \mathbb{E}$.

 ◻

Démonstration. On suppose $\alpha$ constructible. Alors, il existe un point $M$ tel que $\alpha$ est l’abscisse de $M$. $M$ s’obtient à l’aide d’un nombre fini de constructions de points $M_1,\dots ,M_m$. Pour tout $i\in [[1,m]]$, on note $(x_i,y_i)$ les coordonnées de $M_i$. De ce fait, on a une tour d’extension $$\underset{=\mathbb{Q}}{\underbrace{K_0}}\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_m$$ avec $\alpha \in K_m$ et pour tout $0\in [[1,m-1]]$, $K_{i+1}=K_i(x_i,y_i)$. Soit $i\in [[1,m-1]]$. Montrons que $[K_{i+1}:K_i]\le 2$. On a différents cas possibles :

• $M_i$ est l’intersection de deux droites passant par des nombres constructibles de $K_i$. Alors, les coordonnées $(x_i,y_i)$ de $M_i$ sont solution d’un système d’équations de la forme $$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$$ avec $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\in K_i$ par construction. Donc, $x_i,y_i\in K_i$ et ainsi, $[K_{i+1}:K_i]=1$.

• $M_i$ est l’intersection d’une droite et d’un cercle passant par des points dont les coordonnées sont des nombres constructibles de $K_i$ et de rayon un nombre constructible de $K_i$. Alors, les coordonnées $(x_i,y_i)$ de $M_i$ sont solution d’un système d’équations de la forme $$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ (x-a^{\prime }{)}^2+(y-b^{\prime }{)}^2=c^{\prime }\end{array}$$ avec $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\in K_i$ par construction. Raisonnons selon la nullité de $a$.

  • Si $a\ne 0$, la première équation donne $$x=-\frac{by+c}{a}$$ et en réinjectant dans la deuxième équation, on obtient que $y_i$ est racine d’un polynôme de degré $2$. Ainsi, $[K_i(y_i):K_i]\le 2$. Puisque $x_i=-\frac{b{y}_i+c}{a}\in K_i(y_i)$, on a bien $[K_{i+1}:K_i]\le 2$.

  • Si $a=0$, alors $y_i=\frac{c}{b}\in K_i$ (on ne peut pas avoir $b=0$ dans ce cas). Or, cette fois-ci c’est $x_i$ qui est racine d’un polynôme de degré $2$. On peut conclure de la même manière que ci-dessus.

• $M_i$ est l’intersection de deux cercles passant par des points dont les coordonnées sont des nombres constructibles de $K_i$ et de rayon un nombre constructible de $K_i$. Alors, les coordonnées $(x_i,y_i)$ de $M_i$ sont solution d’un système d’équations de la forme $$\{\begin{array}{l}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=c\\ (x-a^{\prime }{)}^2+(y-b^{\prime }{)}^2=c^{\prime }\end{array}$$ avec $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\in K_i$ par construction. On soustrait la deuxième équation à la première, pour obtenir le système équivalent : $$\{\begin{array}{l}-2(a-a^{\prime })x-2(b-b^{\prime })y=c-c^{\prime }-(a^2-a^{\prime 2})-(b^2-b^{\prime 2})\\ (x-a^{\prime }{)}^2+(y-b^{\prime }{)}^2=c^{\prime }\end{array}$$ ce qui nous ramène au cas précédent.

Il suffit alors d’extraire de la suite $(K_0,\dots ,K_m)$ une sous-suite $(L_0,\dots ,L_p)$ strictement croissante (au sens de l’inclusion) en ne conservant dans la suite initiale que les corps extension quadratique du précédent (avec $L_0=K_0$ et $L_p=K_n$). On obtient une suite de sous-corps de $\mathbb{R}$ (par le Lemme 3) qui remplit les trois conditions annoncées.

Réciproquement, supposons l’existence d’une suite $(L_0,\dots ,L_p)$ de sous-corps de $\mathbb{R}$ répondant aux trois conditions de l’énoncé. Montrons par récurrence que $$\forall j\in [[0,p]],L_j\subseteq \mathbb{E}$$

• Initialisation : $L_0=\mathbb{Q}$ : cela résulte du Lemme 2.

• Hérédité : Supposons $L_j\subseteq \mathbb{E}$ pour $j\in [[0,p-1]]$. Soit $x\in L_{j+1}$. Comme, par hypothèse, $$[L_{j+1}:L_j]=2$$ la famille $(1,x,x^2)$ est $L_j$-liée : $$\exists a,b,c\in L_j\text{ non tous nuls tels que }a{x}^2+bx+c=0$$

  • Si $a=0$, alors, $x=-\frac{c}{b}\in L_j$. Donc $x\in \mathbb{E}$.

  • Si $a\ne 0$, alors, $x=\frac{1}{2a}(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})$. Donc, comme $\mathbb{E}$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$ stable par racine carrée (cf. Lemme 3), $x\in \mathbb{E}$.

  Ainsi, $L_{j+1}\subseteq \mathbb{E}$. En conclusion, $L_p\subseteq \mathbb{E}$, donc $\alpha$ est constructible.

 ◻

Démonstration. Soit $\alpha \in \mathbb{E}$. D’après le théorème précédent, il existe une suite finie $(L_0,\dots ,L_p)$ de sous-corps de $\mathbb{R}$ vérifiant :

1. $L_0=\mathbb{Q}$.

2. $\forall i\in [[0,p-1]]$, $L_{i+1}$ est une extension quadratique (de degré $2$) de $L_i$.

3. $\alpha \in L_p$.

Par le théorème de la base télescopique, $$[L_p:\mathbb{Q}]=2^p$$ et par ce même théorème, $$[L_p:\mathbb{Q}]=[L_p:\mathbb{Q}(\alpha )][\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$$ et en particulier, $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ est un diviseur de $2^p$ : ce qu’on voulait. ◻

Démonstration. On a $\mathcal{V}=a^3$ et donc $2\mathcal{V}=2a^3$. L’arête d’un cube est la racine cubique de son volume. Il faut donc construire le nombre $$\sqrt[3]{2a^3}=a\sqrt[3]{2}$$ Comme $a$ est constructible, ceci revient à construire le nombre $$\alpha =\sqrt[3]{2}$$ Le polynôme $P=X^3-2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ (par le critère d’Eisenstein) et annule $\alpha$ : c’est son polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$. On a ainsi $$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$$ donc $\alpha$ n’est pas constructible par le Corollaire 5. ◻