Démonstration. $\mathbb{L}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ de dimension finie $d$ (car $\mathbb{L}$ est fini). Donc $\mathbb{L}$ est isomorphe en tant que $\mathbb{K}$-espace vectoriel à ${\mathbb{K}}^d$. En particulier, $|\mathbb{L}|=|\mathbb{K}{|}^d$. ◻

Démonstration. Soit $\mathbb{K}$ un corps. L’idée va être de procéder par récurrence sur le cardinal du corps.

• Si $|\mathbb{K}|=2$ : alors $\mathbb{K}=\{0,1\}$ est commutatif.

• On suppose le résultat vrai pour tout corps fini de cardinal strictement inférieur à $\mathbb{K}$. On veut montrer que $\mathbb{K}$ est commutatif. Supposons par l’absurde que $\mathbb{K}$ ne l’est pas. On pose $$Z=Z(\mathbb{K})=\{x\in \mathbb{K}\mid \forall y\in \mathbb{K},xy=yx\}$$ le centre de $\mathbb{K}$ dont on note $q$ le cardinal. C’est un sous-corps de $\mathbb{K}$ qui est (par hypothèse) inclus strictement dans $\mathbb{K}$. Donc $Z$ est commutatif, et par le Lemme 1, on peut écrire $|\mathbb{K}|=q^n$ où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Si $x\in \mathbb{K}$, on pose $${\mathbb{K}}_x=Z_{\mathbb{K}}(\{x\})=\{y\in \mathbb{K}\mid xy=yx\}$$ Montrons que $$\exists d\mid n\text{ tel que }|{\mathbb{K}}_x|=q^d\text{\hspace{1em}(∗)}$$ Notons déjà encore une fois que ${\mathbb{K}}_x$ est un sous-corps de $\mathbb{K}$.

  • Si ${\mathbb{K}}_x=\mathbb{K}$, on a $|{\mathbb{K}}_x|=|\mathbb{K}|=q^n$. Il suffit donc de prendre $d=n$.

  • Sinon, ${\mathbb{K}}_x⊊\mathbb{K}$, donc ${\mathbb{K}}_x$ est commutatif par hypothèse. Par le Lemme 1, il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $|\mathbb{K}|=|{\mathbb{K}}_x{|}^k$.

    Mais, $Z$ est un sous-corps (commutatif) de ${\mathbb{K}}_x$, donc d’après le Lemme 1, il existe $d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $|{\mathbb{K}}_x|=|Z{|}^d$. Donc on a $$q^n=|\mathbb{K}|=|{\mathbb{K}}_x{|}^k=(q^d{)}^k=q^{dk}$$ d’où $d\mid n$.

  On considère l’action par conjugaison de ${\mathbb{K}}^{\ast }$ sur lui-même $(x,y)\mapsto xy{x}^{-1}$. Si $y\in {\mathbb{K}}^{\ast }$, alors $${\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(y)=\{x\in {\mathbb{K}}^{\ast }\mid x.y=y\}={\mathbb{K}}_y^{\ast }$$ Soit $\Omega$ un système de représentants associé à la relation d’équivalence être dans la même orbite. L’équation aux classes donne alors $$|{\mathbb{K}}^{\ast }|=\sum _{\omega \in \Omega }\frac{|{\mathbb{K}}^{\ast }|}{|{\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )|}$$ Or, $${\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )={\mathbb{K}}^{\ast }⟺\forall x\in {\mathbb{K}}^{\ast },\omega x=x\omega ⟺\omega \in Z^{\ast }$$ donc en notant ${\Omega }^{\prime }=\Omega \setminus Z^{\ast }$, on a : $$|{\mathbb{K}}^{\ast }|=\sum _{\omega \in Z^{\ast }}\frac{|{\mathbb{K}}^{\ast }|}{|{\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )|}+\sum _{\omega \in {\Omega }^{\prime }}\frac{|{\mathbb{K}}^{\ast }|}{|{\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )|}=|Z^{\ast }|+\sum _{\omega \in \Omega }\frac{|{\mathbb{K}}^{\ast }|}{|{\mathbb{K}}_{\omega }^{\ast }|}\text{\hspace{1em}(∗∗)}$$ Soit $\omega \in {\Omega }^{\prime }$. Par $(\ast )$, $$\exists d\mid n\text{ tel que }|{\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )|=|{\mathbb{K}}_{\omega }^{\ast }|=q^d-1$$ De plus, $d\ne n$ (car $\omega \notin Z^{\ast }$). Si maintenant on pose $$\forall d\mid n,{\lambda }_d=|\{\omega \in {\Omega }^{\prime }\mid |{\mathrm{Stab}}_{{\mathbb{K}}^{\ast }}(\omega )|=q^d-1\}|$$ on peut alors écrire en remplaçant dans $(\ast \ast )$ : $$q^n-1=|K^{\ast }|=(q-1)+\sum _{d\mid \mid n}{\lambda }_d\left(\frac{q^n-1}{q^d-1}\right)\text{\hspace{1em}(∗∗∗)}$$ Si $d\mid \mid n$, on a $$X^n-1=\prod _{k\mid n}{\Phi }_k={\Phi }_n\left(\prod _{k\mid d}{\Phi }_k\right)\left(\prod _{\begin{array}{c}k\mid \mid n\\ k\nmid d\end{array}}{\Phi }_k\right)={\Phi }_n(X^d-1)\left(\prod _{\begin{array}{c}k\mid \mid n\\ k\nmid d\end{array}}{\Phi }_k\right)$$ Donc, ${\Phi }_n\mid \frac{X^n-1}{X^d-1}$ dans $\mathbb{Z}[X]$. Ceci étant vrai quelque soit $d$ divisant strictement $n$, on en déduit $${\Phi }_n\mid \sum _{d\mid \mid n}{\lambda }_d\frac{X^n-1}{X^d-1}\text{ dans }\mathbb{Z}[X]$$ Comme de plus, ${\Phi }_n\mid X^n-1$ dans $\mathbb{Z}[X]$, on conclut que $${\Phi }_n\mid X^n-1-\sum _{d\mid \mid n}{\lambda }_d\frac{X^n-1}{X^d-1}\text{ dans }\mathbb{Z}[X]$$ ce qui donne, une fois évalué en $q$ : $${\Phi }_n(q)\mid q^n-1-\sum _{d\mid \mid n}{\lambda }_d\frac{q^n-1}{q^d-1}\stackrel{(\ast \ast \ast )}{=}q-1⟹|{\Phi }_n(q)|\le q-1$$ Mais $n\ge 2$, donc $$\begin{array}{rl}|{\Phi }_n(q)|& =\prod _{\xi \in {\mu }_n^{\ast }}|q-\xi |\\ & >\prod _{i=1}^{\phi (n)}|q-1|\\ & \ge |q-1|\end{array}$$ On peut en effet interpréter $|q-\xi |$ comme la distance du complexe $q$ au complexe $\xi$ ; le premier est sur l’axe réel et est supérieur ou égal à $2$, le second est sur le cercle unité mais n’est pas sur l’axe réel :

  

  cela nous permet de justifier l’inégalité stricte. On a donc une contradiction.

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