Théorème de Wedderburn

Théorème de Wedderburn

algebra

En utilisant les polynômes cyclotomiques, nous montrons que tout corps fini est commutatif.

Lemme 1. Soient et deux corps tels que est commutatif et . Alors tel que .

Démonstration. est un espace vectoriel sur de dimension finie (car est fini). Donc est isomorphe en tant que -espace vectoriel à . En particulier, . ◻

Théorème 2 (Wedderburn). Tout corps fini est commutatif.

Démonstration. Soit un corps. L’idée va être de procéder par récurrence sur le cardinal du corps.

  • Si : alors est commutatif.

  • On suppose le résultat vrai pour tout corps fini de cardinal strictement inférieur à . On veut montrer que est commutatif. Supposons par l’absurde que ne l’est pas. On pose le centre de dont on note le cardinal. C’est un sous-corps de qui est (par hypothèse) inclus strictement dans . Donc est commutatif, et par le Lemme 1, on peut écrire . Si , on pose Montrons que Notons déjà encore une fois que est un sous-corps de .

    • Si , on a . Il suffit donc de prendre .

    • Sinon, , donc est commutatif par hypothèse. Par le Lemme 1, il existe tel que .

      Mais, est un sous-corps (commutatif) de , donc d’après le Lemme 1, il existe tel que . Donc on a d’où .

    On considère l’action par conjugaison de sur lui-même . Si , alors Soit un système de représentants associé à la relation d’équivalence être dans la même orbite. L’équation aux classes donne alors Or, donc en notant , on a : Soit . Par , De plus, (car ). Si maintenant on pose on peut alors écrire en remplaçant dans : Si , on a Donc, dans . Ceci étant vrai quelque soit divisant strictement , on en déduit Comme de plus, dans , on conclut que ce qui donne, une fois évalué en : Mais , donc On peut en effet interpréter comme la distance du complexe au complexe ; le premier est sur l’axe réel et est , le second est sur le cercle unité mais n’est pas sur l’axe réel :

    tikzpicture-1

    cela nous permet de justifier l’inégalité stricte. On a donc une contradiction.

 ◻