Démonstration. Notons tout d’abord que $$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a_n=2{\int }_0^1(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t\ge 2{\int }_0^{1}t(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t={\left[-\frac{(1-t^2{)}^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1}{n+1}$$

1. $\forall n\in \mathbb{N}$, $p_n\ge 0$ car $a_n\ge 0$ et $(1-t^2{)}^n\ge 0$ pour tout $t\in [-1,1]$.

2. $\forall n\in \mathbb{N}$, ${\int }_{\mathbb{R}}{p}_n(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{a_n}{\int }_{-1}^1(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t=1$.

3. Soit $\alpha >0$.

   • Si $\alpha <1$ : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $${\int }_{|t|\ge \alpha }{p}_n(t)\mathrm{d}t=\frac{2}{a_n}{\int }_{\alpha }^1(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t\le \frac{2}{a_n}(1-{\alpha }^2{)}^n\le 2(n+1)(1-{\alpha }^2{)}^n$$ et comme $|1-{\alpha }^2|<1$, on a ${\int }_{|t|\ge \alpha }{p}_n(t)\mathrm{d}t⟶0$.

   • Si $\alpha \ge 1$ : $${\int }_{|t|\ge \alpha }{p}_n(t)\mathrm{d}t=0$$

 ◻

Démonstration. Soit $f\in {\mathcal{C}}_C(\mathbb{R})$ continue. Montrons que $(f\ast p_n)$ converge uniformément vers $f$. Soit $ϵ>0$. Par le théorème de Heine $f$ est uniformément continue sur son support, donc l’est aussi sur $\mathbb{R}$ entier : $$\exists \eta >0\text{ tel que }\forall x,y\in \mathbb{R},|x-y|<\eta ⟹|f(x)-f(y)|<ϵ$$ De plus, $f$ est bornée et atteint ses bornes (donc écrire $\Vert f{\Vert }_{\infty }$ a du sens). On peut appliquer le Lemme 2 Point 3 : $$\exists N\in \mathbb{N}\text{ tel que }\forall n\ge N,{\int }_{|t|\ge \eta }{p}_n(t)\mathrm{d}t<ϵ$$ Donc, toujours avec le Lemme 2, pour tout $n\ge N$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$\begin{array}{rl}|f\ast p_n(x)-f(x)|& \stackrel{(ii)}{=}\left|{\int }_{\mathbb{R}}f(x-t)p_n(t)\mathrm{d}t-f(x){\int }_{\mathbb{R}}{p}_n(t)\mathrm{d}t\right|\\ & =\left|{\int }_{\mathbb{R}}(f(x-t)-f(x))p_n(t)\mathrm{d}t\right|\\ & \le {\int }_{\mathbb{R}}\left|(f(x-t)-f(x))p_n(t)\right|\mathrm{d}t\\ & \stackrel{(i)}{=}{\int }_{\mathbb{R}}\left|f(x-t)-f(x)\right|p_n(t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{|t|\ge \eta }\left|f(x-t)-f(x)\right|p_n(t)\mathrm{d}t+{\int }_{-\eta }^{\eta }\left|f(x-t)-f(x)\right|p_n(t)\mathrm{d}t\\ & =2\Vert f{\Vert }_{\infty }ϵ+ϵ{\int }_{-\eta }^{\eta }{p}_n(t)\mathrm{d}t\\ & \stackrel{(i)}{\le }2\Vert f{\Vert }_{\infty }ϵ+ϵ{\int }_{\mathbb{R}}{p}_n(t)\mathrm{d}t\\ & =(2\Vert f{\Vert }_{\infty }+1)ϵ\end{array}$$ d’où la convergence uniforme. Soit maintenant $n\in \mathbb{N}$. Supposons que $f$ est à support dans $I=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ et montrons que pour tout $f\ast p_n$ est une fonction polynômiale. $$\forall x\in I,(f\ast p_n)(x)=(p_n\ast f)(x)={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{p}_n(x-t)f(t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(∗)}$$ Notons que $\forall x,t\in I$, $|x-t|\le 1$, donc $$p_n(x-t)=\frac{(1-(x-t{)}^2{)}^n}{a_n}\stackrel{\text{deˊveloppement}}{=}\sum _{k=0}^{2n}{q}_k(t)x^k$$ où $\forall k\in [[0,2n]]$, $q_k$ est une fonction polynômiale. En remplaçant dans $(\ast )$, on obtient : $$\forall x\in I,(f\ast p_n)(x)=\sum _{k=0}^{2n}\left({\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{q}_k(t)f(t)\mathrm{d}t\right)x^k$$ qui est bien une fonction polynômiale sur $I$.

Soient maintenant $[a,b]$ un intervalle fermé de $\mathbb{R}$ et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. On considère $[c,d]$ un intervalle plus grand avec $c<a$ et $b<d$ et on prolonge $f$ par :

• Une fonction affine sur $[c,a]$ qui vaut $0$ en $c$ et $f(a)$ en $a$.

• Une fonction affine sur $[b,d]$ qui vaut $0$ en $d$ et $f(b)$ en $b$.

Et on peut encore prolonger cette fonction sur $\mathbb{R}$ tout entier en une fonction $\tilde{f}$ telle que $\tilde{f}=0$ pour tout $x\notin [c,d]$. On a donc $\tilde{f}\in {\mathcal{C}}_C(\mathbb{R})$. Nous allons maintenant avoir besoin du changement de variable suivant : $$\phi :\begin{array}{ccc}I& \to & [c,d]\\ x& \mapsto & (d-c)x+\frac{c+d}{2}\end{array}$$ Comme $\tilde{f}\circ \phi$ est continue, à support dans $I$, on peut maintenant affirmer que $\tilde{f}\circ \phi$ est limite uniforme d’une suite de polynômes $({\rho }_n)$. Donc $\tilde{f}$ est limite uniforme de la suite $({\rho }_n\circ {\phi }^{-1})$ où $\forall n\in \mathbb{N}$, ${\rho }_n\circ {\phi }^{-1}$ est bien une fonction polynômiale car $\phi$ (donc ${\phi }^{-1}$ aussi) est affine. A fortiori, $f={\tilde{f}}_{|[a,b]}$ est aussi limite de fonctions polynômiales sur $[a,b]$. ◻