Théorème de Weierstrass (par la convolution)

Théorème de Weierstrass (par la convolution)

analysis

On montre le théorème de Weierstrass par la convolution (sans forcément développer toute la théorie derrière, ce qui peut être utile dans certaines leçons).

Notation 1. , on note :

Lemme 2. La suite vérifie :

  1. , .

  2. , .

  3. , .

Autrement dit, est une approximation positive de l’identité.

Démonstration. Notons tout d’abord que

  1. , car et pour tout .

  2. , .

  3. Soit .

    • Si : , et comme , on a .

    • Si :

 ◻

Théorème 3 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

Démonstration. Soit continue. Montrons que converge uniformément vers . Soit . Par le théorème de Heine est uniformément continue sur son support, donc l’est aussi sur entier : De plus, est bornée et atteint ses bornes (donc écrire a du sens). On peut appliquer le Lemme 2 point : Donc, toujours avec le Lemme 2, pour tout et pour tout , d’où la convergence uniforme. Soit maintenant . Supposons que est à support dans et montrons que pour tout est une fonction polynômiale. Notons que , , donc , est une fonction polynômiale. En remplaçant dans , on obtient : qui est bien une fonction polynômiale sur .

Soient maintenant un intervalle fermé de et . On considère un intervalle plus grand avec et et on prolonge par :

  • Une fonction affine sur qui vaut en et en .

  • Une fonction affine sur qui vaut en et en .

Et on peut encore prolonger cette fonction sur tout entier en une fonction telle que pour tout . On a donc . Nous allons maintenant avoir besoin du changement de variable suivant : Comme est continue, à support dans , on peut maintenant affirmer que est limite uniforme d’une suite de polynômes . Donc est limite uniforme de la suite , est bien une fonction polynômiale car (donc aussi) est affine. A fortiori, est aussi limite de fonctions polynômiales sur . ◻