Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

analysis

On montre le théorème de Weierstrass en faisant un raisonnement sur des variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.

Théorème 1 (Bernstein). Soit continue. On note le -ième polynôme de Bernstein associé à . Alors le suite de fonctions converge uniformément vers .

Démonstration. Soit . On se place sur un espace probabilité et considère une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi . On note , . Ainsi, et donc par la formule de transfert, La fonction est continue sur qui est un compact de , donc par le théorème de Heine; elle y est uniformément continue. Soit donc , On a, Comme , on peut appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Comme les sont indépendantes et de même loi : En réinjectant cela dans , cela donne qui est une majoration indépendante de . Comme la fonction est continue sur , on peut passer à la borne supérieure : ce qui donne après un passage à la limite supérieure :  ◻

Théorème 2 (Weierstrass). Toute fonction continue (avec tels que ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur .

Démonstration. On va avoir besoin du changement de variable suivant : Par le Théorème 1, la fonction est limite uniforme d’une suite de fonctions polynômiales . Donc est limite uniforme de la suite , est bien une fonction polynômiale car (donc aussi) est affine. ◻