Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

analysis

On montre le théorème de Weierstrass en faisant un raisonnement sur des variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli.

[G-K]
p. 195

Théorème 1 (Bernstein). Soit $f : [0, 1] \to R$ continue. On note $\forall n \in N^{*}, B_{n} (f) : x \mapsto k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k}$ le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ . Alors le suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ .

Démonstration. Soit $x \in] 0, 1 [$ . On se place sur un espace probabilité $(Ω, A, P)$ et considère $(X_{k})$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $B (x)$ . On note $\forall n \in N^{*}$ , $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . Ainsi, $S_{n} \sim B (n, x)$ et donc par la formule de transfert, $E (f (\frac{S _{n}}{n})) = k = 0 \sum n (k n) f (\frac{k}{n}) x^{k} (1 - x)^{n - k} = B_{n} (f) (x)$ La fonction $f$ est continue sur $[0, 1]$ qui est un compact de $R$ , donc par le théorème de Heine; elle y est uniformément continue. Soit donc $ϵ > 0$ , $\exists η > 0 tel que \forall x, y \in [0, 1], ∣ x - y ∣ < η ⟹ ∣ f (x) - f (y) ∣ < ϵ$ On a, $∣ B_{n} (f) (x) - f (x) ∣ = E (f (\frac{S _{n}}{n})) - f (x) = E (f (\frac{S _{n}}{n}) - f (x)) \leq E f (\frac{S _{n}}{n}) - f (x) \leq E (1_{{∣ \frac{S _{n}}{n} - x ∣ < η}} f (\frac{S _{n}}{n}) - f (x)) + E (1_{{∣ \frac{S _{n}}{n} - x ∣ \geq η}} f (\frac{S _{n}}{n}) - f (x)) \leq E (ϵ) + 2∥ f ∥_{\infty} E (1_{{∣ \frac{S _{n}}{n} - x ∣ \geq η}}) = ϵ + 2∥ f ∥_{\infty} P (\frac{S _{n}}{n} - x \geq η) (*)$ Comme $E (\frac{S _{n}}{n}) = x$ , on peut appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P (\frac{S _{n}}{n} - x \geq η) = P (\frac{S _{n}}{n} - E (\frac{S _{n}}{n}) \geq η) \leq \frac{1}{η ^{2}} Var (\frac{S _{n}}{n})$ Comme les $X_{k}$ sont indépendantes et de même loi : $Var (\frac{S _{n}}{n}) = \frac{1}{n ^{2}} Var (S_{n}) = \frac{1}{n} Var (X_{1}) = \frac{x ( 1 - x )}{n} \leq \frac{1}{n}$ En réinjectant cela dans $(*)$ , cela donne $∣ B_{n} (f) (x) - f (x) ∣ \leq ϵ + \frac{2∥ f ∥ _{\infty}}{n η ^{2}}$ qui est une majoration indépendante de $x$ . Comme la fonction $B_{n} (f) - f$ est continue sur $[0, 1]$ , on peut passer à la borne supérieure : $∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} = x \in [0, 1] sup ∣ B_{n} (f) (x) - f (x) ∣ \leq ϵ + \frac{2∥ f ∥ _{\infty}}{n η ^{2}}$ ce qui donne après un passage à la limite supérieure : $⟹ ϵ ⟶ 0 ⟹ n \to + \infty lim sup ∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} \leq ϵ n \to + \infty lim sup ∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} = 0 n \to + \infty lim ∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} = 0$ ◻

Théorème 2 (Weierstrass). Toute fonction continue $f : [a, b] \to R$ (avec $a, b \in R$ tels que $a \leq b$ ) est limite uniforme de fonctions polynômiales sur $[a, b]$ .

Démonstration. On va avoir besoin du changement de variable suivant : $φ : [0, 1] x \to \mapsto [a, b] a + (b - a) x$ Par le Théorème 1, la fonction $f \circ φ^{- 1}$ est limite uniforme d’une suite de fonctions polynômiales $(p_{n})$ . Donc $f$ est limite uniforme de la suite $(p_{n} \circ φ)$ où $\forall n \in N$ , $p_{n} \circ φ$ est bien une fonction polynômiale car $φ$ est affine. ◻